Demostrar que $\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n^{\ln(n)}}=\infty$

Question

¿Podría alguien dar una pista por mostrar lo siguiente? $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n^{\ln(n)}}=\infty$$

Answer 1

CONSEJOS : $$\lim\exp(\ldots)=\exp(\lim\ldots)$$ $$\dfrac{2^n}{n^{\ln{n}}}=\exp\left(n\ln{2}-\ln^2{n}\right)$$

Answer 2

PISTA: Tomando el logaritmo tienes $$\lim_n \log(2^n)-\log(n^{\log n}) = \lim_n (\log 2)n-\log^{2}n = \infty$$

Answer 3

Una forma elegante: poner

$$a_n=\frac{n^{\log n}}{2^n}\implies \sqrt[n]{a_n}=\frac{n^{\log n/n}}2\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac12<1$$

Así, la serie $\;\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\;$ converge, por lo que

$$\lim_{n\to\infty} a_n=0\implies \lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=\infty$$

Answer 4

En primer lugar, observaría que mostrar que $lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{ln(n+1)}}{n^{ln(n)}} < 2$ es una prueba equivalente.

Y para ello, en lugar de utilizar las propiedades algebraicas del logaritmo, utilizaría el hecho de que aumenta muy lentamente, por ejemplo:

$lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{ln(n+1)}}{n^{ln(n)}} < lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{ln(n+1)}}{n^{ln(n+1)}} = lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{ln(n+1)}$

Y ahora, para $n > 3$ que tenemos: $ln(n+1) < n/2$ .

Ya casi hemos terminado, ¿ves por qué?