Demostrar que $S_i<1$ % todo $i$por inducción

Question

Definimos $x_1=\frac12$ y $x_n=(1-\frac{3}{2n})\cdot x_{n-1}$

Entonces definimos $S_i=x_1+x_2+\cdots+x_i$

Demostrar que $S_i<1$ % todo $i$

Puedo ver que $x_n=(1-\frac{3}{2n})\cdot (1-\frac{3}{2n-2})\cdots (1-\frac 34)\cdot \frac12$

¿Pero qué entonces? Supongo que mi observación no es útil sin embargo...

Answer 1

Creo que va a ayudar a observar, \begin{align*} x_n &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2n - 3}{2n} \cdot \frac{2n - 5}{2n - 2} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{(2n - 3)(2n - 5) \ldots 1}{(2n)(2n - 2)(2n - 4) \ldots 2} \\ &= \frac{1}{2^n n!}(2n - 3)(2n - 5) \ldots 1 \\ &= \frac{1}{2^n n!} \cdot \frac{(2n - 2)(2n - 3)(2n - 4) \ldots 1}{(2n - 2)(2n - 4) \ldots 2} \\ &= \frac{1}{2^n n!} \cdot \frac{(2n - 2)!}{2^{n-1}(n-1)!} \\ &= \frac{(2n - 2)!}{2 \cdot 4^{n-1} n ((n - 1)!)^2} \\ &= \frac{\binom{2n - 2}{n - 1}}{n 2^{2n-1}} \\ &= \frac{C(n - 1)}{2^{2n - 1}}, \end{align*} donde $C(n)$ $n$th catalán número. De acuerdo a Wikipedia, el catalán de números de la siguiente generación de la función: $$c(x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.$$ Con un poco de suerte, deberíamos tener, $$\sum_{n=1}^\infty x_n = \frac{1}{2}c\left(\frac{1}{4}\right) = 1,$$ siempre que la Serie de Maclaurin converge (extracción de la discontinuidad removible en $0$) donde queremos. Por desgracia, este valor se encuentra justo en el límite del radio de convergencia, pero no significa que esta suma equivale a $1$ es equivalente a la serie de Maclaurin de $\sqrt{1 - x}$ convergentes a$0$$x = 1$. Parece una más elementales problema, pero yo personalmente no tener una prueba de que es cierto.