Laplaciano de la conexión de paquetes de vectores general

Question

Como dice el título, mi pregunta es acerca de cómo definir la conexión laplaciano en general vector de paquetes.

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Creo que entiendo cómo definir la conexión laplaciano en el tensorbundles:

Deje $M$ ser una de Riemann colector y $\mathcal{T}^k_l(M)$ ser el espacio de lisa sección del vector paquete de $(k,l)$-tensores en $M$. Llame elementos en $\mathcal{T}^k_l(M)$ liso $(k,l)$-tensor de campos.

Pensamos en una suave $(k,l)$-tensor de campo como un $C^{\infty}(M)$-multilineal mapa

$F\colon \Omega^1(M)\times\ldots\times\Omega^1(M)\times\mathfrak{X}(M)\times\ldots\times\mathfrak{X}(M)\rightarrow C^\infty(M)$,

donde $\Omega^1(M)$ es el espacio de la $1$formularios en $M$, $\mathfrak{X}(M)$ es el espacio de campos vectoriales en $M$, $\Omega^1(M)$ es tomada $l$y $\mathfrak{X}(M)$ es tomada $k$-veces.

Para cada una de las $k,l$ de Levi-Civita-Conexión en $M$ induce una conexión de $\nabla$ en el conjunto de $(k,l)$-tensores, así que tenemos mapas

$\nabla\colon \mathcal{T}^k_l(M)\rightarrow \mathcal{T}^{k+1}_l(M)$ dada por $\nabla F(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k,X):=(\nabla_XF)(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k)$

Resulta que $(\nabla^2F)(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k,Y,X):=(\nabla\nabla F)(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k,Y,X)=(\nabla_X\nabla_YF-\nabla_{\nabla_XY}F)(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k)$

Por último se define la conexión laplaciano $\Delta\colon \mathcal{T}^k_l(M)\rightarrow \mathcal{T}^k_l(M)$ $(\Delta F)(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k):=tr_g((Y,X)\mapsto\nabla^2F(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k,Y,X))$ donde $tr_g$ es para ser entendido de la siguiente manera: si $G$ $(2,0)$- tensor, nosotros lo transformamos en un $(1,1)$-tensor de vía métrica (es decir, mediante la aplicación de la #-operador). Un $(1,1)$ tensor puede ser entendido como un endomorfismo de $T_pM$ de que el seguimiento puede ser tomado.

Si $(e_i)$ es un local ortonormales marco, tenemos $(\Delta F)(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k)=\sum_i \nabla^2F(\omega^1,\ldots,\omega^l,Y_1,\ldots,Y_k, e_i,e_i)$.

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Ahora, vamos a $E$ ser un vector paquete de más de $M$, con una conexión de $\nabla$. Para cualquier liso sección $\varphi$$E$, podemos definir

$\nabla^2\varphi (X,Y):=\nabla_X\nabla_Y\varphi - \nabla_{\nabla_XY}\varphi$ donde $X$ $Y$ son campos vectoriales. Para un local ortonormales marco de $(e_i)$ hemos creado

$\Delta \varphi :=\sum_i\nabla^2\varphi (e_i,e_i)$.

Sin embargo, esta definición es insuficiente para mí:

Pregunta 1: ¿Es posible definir una "huella" en la configuración de general vector de paquetes de $E$, de modo que $\Delta \varphi$ resulta ser trace($\nabla^2\varphi$) al igual que en el caso de que el tensor de paquetes? Edit: he encontrado una referencia que define la conexión de laplace a través de la traza (Lawson, el Giro, la Geometría, la p. 154). Podría alguien explicarme cómo la traza debe entenderse en ese contexto?

Pregunta 2: ¿hay más detrás de la definición de $\nabla^2\varphi (X,Y)$ (como en el caso de que el tensor de paquetes, donde$\nabla^2 F$$\nabla\nabla F$)? Es decir, do $\nabla$ y la de Levi-Civita-Conexión de inducir una conexión de $\nabla$ $T^*M\otimes E$ en una manera que $\nabla\nabla\varphi=\nabla^2\varphi$?

Yo también agradecería cualquier tipo de referencia en el que se explica.

Answer 1

La respuesta a ambas preguntas es sí, y creo que funciona completamente de forma análoga a lo que describen en la primera parte de su pregunta. Más específicamente,

1. La idea de la traza es la misma con la que hable en el primera parte de tu pregunta. El "$E$-Hesse" $\nabla^2 \varphi$ es una sección de $E \otimes T^\ast M \otimes T^\ast M$. El uso de la métrica (el musical isomorfismo $\sharp$) para identificar a $T^\ast M$ $TM$ y obtener una sección de $E \otimes T^\ast M \otimes TM \cong E \otimes \text{End}(TM)$. Tomar la traza de la endomorfismo de la pieza a obtener una sección de $E$. Tenga en cuenta que $\nabla^2 \phi$ no puede ser simétrica en sus entradas, por lo que tenemos una opción en cuanto a que el factor de $T^\ast M$ aplicamos $\sharp$ a, pero esta elección es irrelevante una vez tomamos la traza.

   En términos de un local marco de $\{ e_i \}$$TM$, tenemos $$ \Delta \phi = \text{tr}_g \nabla^2 \varphi = g^{ij} [\nabla^2 \varphi] (e_i, e_j).$$ Por supuesto, si el marco es ortonormales, esto se reduce a $[\nabla^2 \varphi] (e_i, e_i)$, como se dijo.

2. Tenemos una conexión de $\nabla^E$ $E$ y la de Levi-Civita de conexión de $\nabla^{LC}$$T^\ast M$. Estos inducir una conexión de $\tilde{\nabla}^E$ en $E \otimes T^\ast M$, el cual es definido por el producto "regla": $$\tilde{\nabla}^E (\varphi \otimes \omega) = (\nabla^E \varphi) \otimes \omega + \varphi \otimes (\nabla^{LC} \omega)$$ donde $\varphi$ es una sección de $E$ $\omega $ es de una sola forma.

   Esta conexión le da un mapa de $\tilde{\nabla}^E: \Gamma(E \otimes T^\ast M) \to \Gamma(E \otimes T^\ast M \otimes T^\ast M)$, y como habrá adivinado, $\nabla^2$ como se define es precisamente la composición de las conexiones $$\tilde{\nabla}^E \circ \nabla^E: \Gamma(E) \to \Gamma(E \otimes T^\ast M) \to \Gamma(E \otimes T^\ast M \otimes T^\ast M).$$ Es un buen ejercicio para probar esto!

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Una nota en la que, como mucho para mi propio entendimiento de nada: $\tilde{\nabla}^E$ como se definió anteriormente es una extensión de $\nabla^E$ que se asigna a $\Gamma(E \otimes T^\ast M) \to \Gamma(E \otimes T^\ast M \otimes T^\ast M)$. Hay otra extensión interesante de $\nabla^E$$E \otimes T^\ast M$, que voy a llamar $d^E$. $d^E$, en contraste a $\tilde{\nabla}^E$, es un mapa $$d^E: \Gamma(E \otimes T^\ast M) \to \Gamma(E \otimes \Lambda^2 T^\ast M),$$ es decir, $d^E$ da de dos formas con $E$-de los coeficientes. Más generalmente, se puede definir $d^E$ como un mapa en $E$valores de las formas de cualquier grado: $$d^E: \Gamma(E \otimes \Lambda^k T^\ast M) \to \Gamma(E \otimes \Lambda^{k+1} T^\ast M),$$ definido por $$d^E(\varphi \otimes \omega) = (\nabla^E \varphi) \wedge \omega + \varphi \otimes (d\omega),$$ donde $\wedge$ significa "cuña de la que uno forma parte de $\nabla^E \varphi$$\omega$".

Supongo que uno debe pensar de $d^E$ como una generalización de la de Rham exterior derivado $d$ en los formularios. (Si $E$ es la trivial bundle $M \times \mathbb{R}$ con una mínima conexión de $\nabla^E = d$, recuperamos $d$.) Tenga en cuenta que $d^E$ no requiere de una conexión en $TM$.

La curvatura $R^E$ de la conexión de $\nabla^E$ $\text{End}(E)$valores de dos formas definidas por la composición $$R^E:=(d^E)^2 \text{ (or }d^E \circ \nabla^E): \Gamma(E) \to \Gamma(E \otimes T^\ast M) \to \Gamma(E \otimes \Lambda^2 T^\ast M) .$$ Es un estándar de cálculo para mostrar que $R^E$ vive realmente en $\text{End}(E)$, es decir, que es $C^\infty(M)$-lineal, y que $$ R^E(X,Y) = \nabla^E_X \nabla^E_Y - \nabla^E_Y \nabla^E_Y - \nabla^E_{[X,Y]} $$

Como un comentario final para relacionar esto con el hecho de Hesse, observe que la parte antisimétrica de Hesse es, precisamente, la curvatura, es decir, $$[\nabla^2 \varphi](X, Y) - [\nabla^2 \varphi](Y, X) = R^E(X,Y) \varphi.$$ La Hessiana de una función suave es simétrica, lo que es equivalente a la el hecho de que el de Rham "curvatura" $d^2$ es cero.

Referencias: Aquí hay un par de libros que he encontrado útil en recordándome a mí mismo cómo algunos de estos trabajos:

• Jost, Geometría de Riemann y Geométricas de Análisis. Consulte el capítulo 4.
• Taylor, Ecuaciones Diferenciales Parciales I. Consulte el Apéndice C (en su web) y en el capítulo 2.