¿por qué puedo diferenciar este término por término?

Question

Cuál es la mejor manera de justificar el cómputo siguiente:

Para $A, B$ matrices reales simétricas,

$$\frac{d}{dt}|_{t=0}e^{A+tB}= \frac{d}{dt}|_{t=0}(1+(A+tB)+\frac{1}{2!}(A+tB)^2+...) = (B+\frac{1}{2!}(BA+AB)+...+\frac{1}{(n+1)!}\sum _{k=0}^n A^kBA^{n-k}+...)$$

Lo único que no entiendo es cómo para justificar la diferenciación término por término. En el caso de una expresión como $\frac{d}{dt}e^{tB}$ es fácil que cada coordenada es una serie de energía en t con radio infinito de convergencia. ¿Es lo que debo hacer o hay una manera más fácil?

Answer 1

La serie $\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}(A+tB)^n$ y su termwise % derivado $\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \frac{d}{dt} (A+tB)^n$converge absoluta y uniformemente en conjuntos compactos. Por lo tanto, los límites (diferenciación y suma de la serie) se pueden intercambiar, dar %#% $ #%