He estado estudiando acerca de los límites de funciones mediante Introducción al Análisis por Gaughan. Hace un par de días hice esta pregunta los Límites de las Funciones , acerca de los límites de funciones. La motivación es la curiosidad acerca de si la idea de probar que una función tiene límite en un punto dado, puedan ser generalizadas para probar que una función dada se había límites a todos los puntos del dominio. Después de leer la siguiente sección del libro, los Límites de la Monotonía de las Funciones, tengo otra pregunta a lo largo de las mismas líneas. En esa sección, el autor da el siguiente teorema y apoyo lema:
Lema: Vamos a $f : [\alpha, \beta] \to \mathbb R$ va en aumento. Deje $U(x) = \inf\{f(y) : x < y\}$$L(x) = \sup\{f(y) : y < x\}$$x \in (\alpha, \beta)$. A continuación, $f$ tiene un límite en $x_0\in (\alpha,\beta)$ fib $U(x_0) = L(x_0)$, y en este caso $\lim f(x) = f(x_0) = U(x_0) = L(x_0)$.
Teorema: Vamos a $f : [\alpha, \beta]\to \mathbb R$ ser monótono. Entonces $$D = \{x : x \in (\alpha, \beta)\text{ and }f\text{ does not have a limit at }x\}$$ is countable. If $f$ has a limit at $x_0 \(\alpha,\beta)$ then $\lim f(x) = f(x_0)$.
El autor va a decir la idea es que la monotonía de la función tendrá un límite en todas partes, excepto posiblemente en una contables conjunto de puntos. Mi pregunta es: si se restringe el dominio de una función, como lo hizo en el texto, este puede ser aplicado a funciones que no son estrictamente monótona? Como un ejemplo, $x^2$ es monotono en $[0, \infty)$. Basado en mi entendimiento, usted podría utilizar esto para mostrar que existe un límite para todos los puntos en decir $[1,3]$. Aunque no es exactamente lo que yo buscaba en mi primer post, esto podría ir un largo camino hacia ese final.
