Integral con el parámetro

Question

Es posible expresar en forma cerrada de la integral de la $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin \left ( ax \right )}{\sin x+\cos x}\, {\rm d}x,\,\,\, a\in \mathbb{N}$$

Bueno, creo que es muy difícil. Bueno, yo sé cómo expresar la integral $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,{\rm d}x=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\, {\rm d}x=\frac{\pi}{4}$$ mediante la aplicación de la sub $u=\frac{\pi}{2}-x$ , pero en general no tengo la menor idea.

Si alguien me pudiera ayudar , que sería bueno!

Answer 1

Si usted está realmente interesado en una forma cerrada de la fórmula, a continuación, vamos a considerar la integral

$$ I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{inx}}{\cos(x)+\sin(x)}dx $$

donde su integral es igual a la parte imaginaria de $I$. $I$ puede tener la forma cerrada en términos de la Lerch de la función zeta

$$ I = \frac{(1-i) e^{\frac{i\pi n}{2}}} {2}\left( \Phi \left( -i,1,\frac{n+1}{2}\right) - \Phi \left( i,1, \frac{n+1}{2} \right ) \right) . $$

Nota:

1) Arce $17$ no puede dar una respuesta para esta integral! Yo no sé acerca de Maple 18. Ya una forma diferente para la respuesta, calculada por Mathematica $9$, fue publicado.

2) la parte real de La $I$ evalúa la integral

$$ \int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(nx)}{\cos(x)+\sin(x)}dx. $$

Answer 2

Este es $$ -\Biggl(\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right) e^{-\frac{1}{2} i \pi n} \biggl(e^{\frac{i \pi n}{2}} \biggl((n-1) \biggl(e^{\frac{i \pi n}{2}} \, _2F_1\biggl(1,\frac{n+1}{2};\frac{n+3}{2};-i\biggr)\\+i \, _2F_1\biggl(1,\frac{n+1}{2};\frac{n+3}{2};i\biggr)\biggr)+i (n+1) \, _2F_1\biggl(1,\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};i\biggr)\biggr)\\+(n+1) \, _2F_1\biggl(1,\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};-i\biggr)\biggr)\Biggr)/(n^2-1) $$ según Wolfram Mathematica$^{TM}$ 9

Answer 3

Tiene una respuesta de Vladimir, pero me he divertido calcular la integral para algunos valores de $n$ y dejé que por su curiosidad.

Vamos $$I_n=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin \left ( ax \right )}{\sin x+\cos x}\, {\rm d}x$$ $$I_1=\frac{\pi }{4}$$ $$I_2=2-\sqrt{2} \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ $$I_3=1-\frac{\pi }{4}$$ $$I_4=0$$ $$I_5=1-\frac{\pi }{4}$$ $$I_6=\sqrt{2} \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\frac{14}{15}$$ $$I_7=\frac{\pi }{4}-\frac{2}{3}$$ $$I_8=0$$ $$I_9=\frac{\pi }{4}-\frac{2}{3}$$ $$I_{10}=\frac{454}{315}-\sqrt{2} \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ $$I_{11}=\frac{13}{15}-\frac{\pi }{4}$$ $$I_{12}=0$$ Podemos entender que la fórmula general debe estar lejos de ser sencilla.