¿Cómo puedo demostrar que el tensor de la $\mathbb{Q} \otimes \left( \prod_n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)$, donde el producto se toma sobre todos los positivos enteros $n$, no es trivial?
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La proposición: $\mathbb{Q}$ es plano como una $\mathbb{Z}$-módulo. (Es decir, el functor $ \_ \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ es exacta.)
Pf: La más fácil es observar que tensoring con $\mathbb Q$ es la misma que la localización en $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$, y la localización es exacta.
Aficionado a prueba: $\mathbb{Q}$ es el filtrado colimit de la libre módulos de $\mathbb{Z}[1/n]$$n = 1,2,3 \ldots$. Un módulo es plana. Ahora uso ese $\text{Tor}$ viajes con filtrado colimits (desde tensoring desplazamientos con colimits, y tomando cohomology desplazamientos con filtrado colimits).
Supongamos que $x \in A$ es un elemento de orden infinito. Esto da una $0 \to \mathbb{Z} \to A$. Tensor de esta secuencia exacta con $\mathbb{Q}$ conseguir $0 \to \mathbb{Q} \to A \otimes \mathbb{Q}$ con $\mathbb{Q}$ plana para mantener la inyectividad.
Ahora, el elemento $(1,1,\ldots) \in \Pi_n \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ tiene orden infinito.
