dos límite de preguntas relacionadas con la $\sin$

Question

Me quedé con estos 2 límites, me puedes ayudar por favor?

$1.\displaystyle\quad \lim_{n \to \infty }\frac{\sin1+2\sin\frac{1}{2}+3\sin\frac{1}{3}+\cdots+n\sin\frac{1}{n}}{n}$

$2.\displaystyle\quad \lim_{n \to \infty }\frac{n}{\frac{1}{\sin1}+\frac{1/2}{\sin1/2}+\frac{1/3}{\sin1/3}+\cdots+\frac{1/n}{\sin1/n}} $

Gracias de antemano.

Answer 1

Vamos a utilizar innecesariamente explícito de las desigualdades para probar el resultado.

En el primer límite, el término general en la parte superior puede ser reescrita como $\dfrac{\sin(1/k)}{1/k}$. Esto nos recuerda de la $\frac{\sin x}{x}$ cuyo límite como $x\to 0$ necesitábamos en el inicio del cálculo.

Tenga en cuenta que para $0\lt x\le 1$, el poder de la serie $$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+\cdots$$ para $\sin x$ es una alternancia de serie. De ello se desprende que para $0\lt x\le 1$, $$x-\frac{x^3}{6}\lt \sin x\lt x.$$ y por lo tanto $$1-\frac{x^2}{6}\lt \frac{\sin x}{x}\lt 1.$$ Poner $x=1/k$. Tenemos $$1-\frac{1}{6k^2}\lt \frac{\sin(1/k)}{1/k} \lt 1.\tag{$1$}$$ Agregar, $k=1$$k=n$, y dividir por $n$ Recordar que $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{\pi^2}{6}.$$ Nos encontramos con que $$1-\frac{\pi^2}{36n}\lt \frac{\sin1+2\sin\frac{1}{2}+3\sin\frac{1}{3}+\cdots+n\sin\frac{1}{n}}{n}\lt 1.$$ De esto se sigue inmediatamente que nuestro límite es $1$.

Una muy similar argumento funciona para el segundo límite que se le preguntó acerca de. Es conveniente considerar que en lugar de la reciprocidad, y calcular $$\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{\sin1}+\frac{1/2}{\sin1/2}+\frac{1/3}{\sin1/3}+\cdots+\frac{1/n}{\sin1/n}}{n}.$$ A continuación, podemos utilizar la desigualdad $$1\lt \frac{1/k}{\sin(1/k)} \lt \frac{1}{1-\frac{1}{6k^2}},$$ que es fácil de obtener a partir de las Desigualdades $(1)$. Tener el $1-\frac{1}{6k^2}$ en el denominador es un inconveniente, por lo que podemos por ejemplo utilizar la desigualdad de $\dfrac{1}{1-\frac{1}{6k^2}}\lt 1+\dfrac{1}{k^2}$ a empujar a través de casi la misma prueba como la primera.

Answer 2

Como $n \to \infty , \sin(1/n)\to 1/n , n\sin(1/n)\to 1$. Ahora, por Cesaro significa

$\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{1}^{n}n\sin(1/n)\to n$.

La distribución de la sobre el numerador y el denominador

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sum_{1}^{n}n\sin(1/n)}{n}= \frac{\lim\limits_{n \to \infty }n\sin(1/n)}{n}=1$

Por tanto, la respuesta a la primera parte es 1 . El mismo argumento vale para la segunda parte también.

Answer 3

la primera de ellas , se puede utilizar el stolz teorema directamente. o utilice el resultado: si $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$ ,$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_1+a_2+.....a_n}{n}=a$, puede utilizar el $\epsilon-N$ a ilustrar...

el segundo es el mismo