Considere el siguiente tercer problema:
$$\text{(P2a)} \quad \min_x ~~ g(x) = x^2 + (x-1)^3 ~~ \text{s.t.} ~~ (x-1)^3=y^2$$
Creo que usted estará de acuerdo en que (P2a) es equivalente a (P1).
De manera que no era la sustitución ese es el problema! Fue el hecho de que usted también se eliminó la restricción. Podría parecer, por supuesto, que usted podría eliminar en este momento, debido a que $y$ ya no aparece en el objetivo. Pero esto sería incorrecto, porque todavía sirve para restringir $x$:
$$\begin{aligned}&(x-1)^3=y^2\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^3\geq 0, \quad y\in\{+(x-1)^{3/2},-(x-1)^{3/2}\}\\
&\qquad\Longleftrightarrow\quad x\geq 1, \quad y\in\{+(x-1)^{3/2},-(x-1)^{3/2}\}
\end{aligned}$$
Por lo tanto, un modelo correcto después de la eliminación de $y$ es
$$\text{(P2b)} \quad \min_x ~~ g(x) = x^2 + (x-1)^3 ~~ \text{s.t.} ~~ x\geq 1$$
Por lo tanto, el desafío a su propia pregunta. La reescritura de la función objetivo, de esta manera siempre es aceptable. La caída de una restricción, sin embargo, sólo es aceptable si se demuestra que no está activo en cualquier punto óptimo. Por lo tanto, no asuma que usted puede colocar una restricción sólo porque se reescribió el objetivo.
EDIT: tal vez esto le ayudará. Dos modelos de optimización son equivalentes sólo si usted puede recuperar fácilmente la solución a uno de una solución a la otra, y viceversa. El pensamiento acerca de las condiciones que debe poseer para ser capaz de recuperar una eliminación de la variable ayudará a evitar la eliminación de la esencial restricciones. Por ejemplo, en este caso, sólo podemos recuperar $y$ si $(x-1)^3$ es no negativa.
