$\cos^n x-\sin^n x=1$

Question

Para $0 < x < 2\pi$ y positiva , incluso, $n$, la única solución para $\cos^n x-\sin^n x=1$$\pi$.
El argumento es simple como $0\le\cos^n x, \sin^n x\le1$ y, por tanto, $\cos^n x-\sin^n x=1$ fib $\cos^n x=1$$\sin^n x=0$.

Mi pregunta es que cualquier buen argumento para mostrar la siguiente declaración?

'Para $0 < x < 2\pi$ y positivo impar $n$, la única solución para $\cos^n x-\sin^n x=1$$\frac{3\pi}{2}$.'

Answer 1

Dejamos el caso de $n = 1$ $n = 2$ por separado, y asumir la $n \geq 3$ a partir de ahora.

Observar que si $|r| \leq 1$, $|r^n| \leq r^2$ con igualdad si y sólo si $r = 0$ o $|r| = 1$. Luego de ello se sigue que

$$1 = \left|\cos^n x - \sin^n x\right| \leq \left|\cos^n x\right| + \left|\sin^n x\right| \leq \cos^2 x + \sin^2 x = 1. $$

Esto obliga a todos los intermedios de la desigualdad a la igualdad. En particular, se debe tener

$$ \cos x , \sin x \in \{0, \pm 1\}.$$

Por lo tanto $x \in \{ \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \}$. Ahora el resto es clara.