¿El valor de % integral doble $\int _0^1\int _0^{\frac{1}{x}}\frac{x}{1+y^2}\:dx\,dy$?

Question

Dada la integral doble es:

$$\int _0^1\int _0^{\frac{1}{x}}\frac{x}{1+y^2}\:dx\,dy$$

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Mi intento:

No podemos solucionar ya que la variable $x$ no se puede quitar por límites, pero si cambiamos el orden de integración, entonces

$$\int _0^1\int _0^{\frac{1}{x}}\frac{x}{1+y^2}\:dy\,dx$$

$$\implies\int _0^1\int _0^{\frac{1}{x}}\frac{x}{1+y^2}\:dy\,dx = \frac{1}{2}$$

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¿Puede explicar de manera formal, por favor?

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Edit: Esta pregunta fue de oposiciones puerta. El enlace está dado abajo en comentarios por Alex M. y Martin Sleziak(Thanks).

Answer 1

$$\begin{align}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{1}{x}}\frac{x}{1+y^2}\space\text{d}x\text{d}y&= \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\frac{1}{x}}\frac{x}{1+y^2}\space\text{d}x\right)\text{d}y\\&=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{1+y^2}\int_{0}^{\frac{1}{x}}x\space\text{d}x\right)\text{d}y\\&=\int_{0}^{1}\left(\frac{\left[x^2\right]_{0}^{\frac{1}{x}}}{2\left(1+y^2\right)}\right)\text{d}y\\&=\int_{0}^{1}\left(\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2-0^2}{2\left(1+y^2\right)}\right)\text{d}y\\&=\int_{0}^{1}\left(\frac{\frac{1}{x^2}}{2\left(1+y^2\right)}\right)\text{d}y\\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{2x^2(1+y^2)}\text{d}y\\&=\frac{1}{2x^2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^2}\text{d}y\\&=\frac{\left[\arctan(y)\right]_{0}^{1}}{2x^2}\\&=\frac{\arctan(1)-\arctan(0)}{2x^2}\\&=\frac{\frac{\pi}{4}-0}{2x^2}\\&=\frac{\frac{\pi}{4}}{2x^2}\\&=\frac{\pi}{8x^2}\end{align}$$

Answer 2

De manera correcta es: $$\int\limits_0^1x\:dx\int\limits_0^\dfrac1x \dfrac{dy}{1+y^2} = \int\limits_0^1\arctan y\:\Biggl.\Biggr|_0^{\dfrac1x} x\:dx =\int\limits_0^1x\arctan \dfrac1x\:dx = \int\limits_0^1\left(\dfrac{\pi}2-\arctan x\right)x\:dx =$$$$ \a la izquierda.\dfrac{\pi}2\dfrac{x^2}2\right|_0^1 -\int\limits_0^1\arctan x\: d\dfrac{x^2}2 = \dfrac{\pi}4-\left.\dfrac{x^2}2\arctan x\right|_0^1 +{\dfrac12\int\limits_0^1\dfrac{x^2}{1+x^2}\:dx} =$$$$ \dfrac{\pi}4-\dfrac{\pi}8 + \dfrac12\int\limits_0^1\left(1 - \dfrac1{1+x^2}\right)dx = \dfrac{\pi}8+\left.\dfrac12(x-\arctan x)\right|_0^1=\dfrac12$$

Para cambiar el orden de la integral, a construir la región de integración en el gráfico, donde se puede ver que la región de integración se compone de un cuadrado y la curva trapezoidal, así: $$\int\limits_0^1x\:dx\int\limits_0^\dfrac1x \dfrac1{1+y^2}\:dy = \int\limits_0^1 \dfrac1{1+y^2}\:dy\int\limits_0^1 x\:dx + \int\limits_1^\infty \dfrac1{1+y^2}\:dy\int\limits_0^\dfrac1y x\:dx = $$$$ \arctan y\:\Biggl.\Biggr|_0^1\cdot\left.\dfrac{x^2}2\right|_0^1 + \int\limits_1^\infty \left.\dfrac{x^2}2\right|_0^\dfrac1y\dfrac1{1+y^2}dy = \dfrac{\pi}8 + \dfrac12\int\limits_1^\infty \dfrac1{1+y^2}\dfrac1{y^2}\:dy = $$$$\dfrac{\pi}8+\dfrac12\int\limits_1^\infty \left(\dfrac1{y^2}-\dfrac1{1+y^2}\right)\:dy = \dfrac{\pi}8+\dfrac12\left(-\dfrac1y-\arctan y\right)\Biggr.\Biggr|_1^\infty = \dfrac12$$

Y esta forma de cálculo no parece más simple.

Answer 3

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ x } }{ \frac { x }{ 1+{ y }^{ 2 } } dxdy } } \\ =\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ x } }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ 1+{ y }^{ 2 } } dydx } } \\ =\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ x } }{ x\left( arctan1 \right) dx } \\ =\frac { \pi }{ { 8x }^{ 2 } } $$

Ahora Mithlesh su método de enfoque es erróneo como los límites de un multivariable integral están asociados con la correspondiente de la variable en sí. Usted no puede cambiar los límites relativos a una variable.