Conversión de ecuaciones lineales de segundo orden a primer orden sistemas de ecuaciones lineales

Question

$\color{green}{\text{Question}}$:

¿Cómo puede el siguiente $\color{blue}{\text{second-order linear equation}}$ se convierte en un $\color{blue}{\text{first-order linear equation}}$?

Este es nuestro segundo orden lineal de la Ecuación: $${y}''-2y'+2y=e^{2t}\sin t$$

$\color{green}{\text{I think}\ldots}$

• Esta ecuación contiene la variable dependiente y las variables independientes.

• La ecuación no es completa.

• La ecuación no es homogénea.

¿Cómo puedo convertir a una de primer orden ecuación lineal?

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $x^2+ax+b=0$, $a=-(\alpha+\beta)$ y $b=\alpha\beta$.

La ecuación $y''+ay'+by=f(t)=y''-(\alpha+\beta)y'+\alpha\beta y$.

Ahora reescribir el lado izquierdo como $y''-\alpha y'-\beta y' +\alpha\beta y= (y''-\alpha y')-\beta(y' -\alpha y)=f(t)$ y sustituye $z=y'-\alpha y$ $z'=y''-\alpha y'$ y finalmente la ecuación transformada se convierte en $$z'-\beta z=f(t).$ $ que

Una vez conocido el $z=g(t)$, $y$ se obtiene de $y'-\alpha y=g(t)$.

Así un segundo ecuación de orden puede resolverse mediante la solución de dos ecuaciones de orden primera.

Answer 2

Mira el subyacente homogénea de la ecuación de $y'' - 2y' + 2= 0$; del polinomio característico de la ecuación es cuadrática $\lambda^2 -2\lambda + 2 = 0$; el discriminante de esta ecuación cuadrática es $(-2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 < 0$, de manera que la ecuación tiene un par de complejos confugate raíces, que son, de hecho,$1 \pm i$. Así, el (real) de la dimensión del espacio de soluciones es $2$, y no puede ser reducido. Por lo tanto, puesto que la ecuación es intrínsecamente posee dos grados de libertad, manifiesta típicamente como $y(0)$$y'(0)$, la única manera de reducir el orden es según la expresión de la ecuación original como un sistema de primer orden en el espacio bidimensional $\Bbb R^2$. Así, podemos establecer

$z(t) = y'(t)$,

así que

$z'(t) = 2z(t) - 2y(t) + e^{2t} \sin t$.

En el vector de la matriz de forma que este puede ser escrito como

$\begin{pmatrix} y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}' = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ e^{2t} \sin t \end{pmatrix}$.

Y voila! Un sistema de primer orden equivalente en todos los sentidos a la original de segundo orden ODE!

Espero que esto ayude! ¡Hasta la vista!

Answer 3

Dependiendo de por qué usted necesita una ecuación diferencial de primer orden, esta podría ser la respuesta que estás buscando, y no pudo. Es lo que hicimos en la introducción numérica de problemas de ecuaciones diferenciales, y funciona si lo que quieres hacer es aplicar el método de Euler o Runge-Kutta o algo por el estilo.

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Conjunto de $z = y'$. Entonces usted tiene un sistema de ecuaciones de primer orden $$\begin{align} y' &= z\\\\ z' &= 2z+2y + e^{2t}\sin t \end {Alinee el} $$