Para una introducción exitosa de un nuevo símbolo (por ejemplo,'$\emptyset$') en un discurso matemático es necesario y suficiente que el símbolo se refieren a algo (por ejemplo, Existencia + Especificación en ZF) y nada más (por ejemplo, Extensionality). Me enteré de esta noción de definability de Halmos (1960).
Luzin (1961) tiene una sección introductoria (§8) explicando por qué la división por $0$ no está permitido. Su argumento parece ser nuevo para mí, así que sólo quiero preguntar si yo lo entendí correctamente. Él no lo dice explícitamente, pero parece que él se basa en la noción de definability descrito anteriormente. Considere la posibilidad de:
$$a\over 0 \tag 1$$
Sabemos que $(1)$ denota el único número $b$ s.t. $b \cdot 0 = a$. Ahora, cualquiera de las $a=0$ o $a \ne 0$.
Si $a = 0$, entonces, de acuerdo a esa definición, $(1)$ indica el número único de $b$ que satisface la ecuación de $b \cdot 0 = 0$. Pero todos los números que satisfacen la ecuación, de modo que aunque no es un número $b$, no es única raíz de la ecuación, entonces por la definición de definability, $(1)$ falla para denotar un número al $a =0$.
Si $a \ne 0$, entonces, de acuerdo a la definición de la misma, $(1)$ indica el número único de $b$ que satisface la ecuación de $b \cdot0 =a$ donde $a$ por la hipótesis de la diferencia de $0$. Pero no $b$ diferente de la $0$ satisface la ecuación, entonces por la definición de definability, $(1)$ falla para denotar un número al $a \ne 0$.
Ya que en ambos casos $(1)$ falla para denotar un número único, $(1)$ dijo ser mal definidos. Esa es mi reconstrucción de Luzin del argumento - es enteramente correcta?
Referencias
Halmos, P. (1960) Ingenua Teoría De Conjuntos.
Luzin, N. N. (1961) Cálculo Diferencial.
