Aquí es una pregunta que me pregunté a mí mismo (y no podía contestar), mientras que la lectura de "La topología de los espacios de funciones racionales" de G. Segal.
Deje XX ser suave, un complejo completo de la curva (=una compacta superficie de Riemann) de género gg y deje Rat(X,d)Rat(X,d) ser el espacio de todos los regulares (=holomorphic) mapas de XX P1(C)P1(C)grado dd. En esta pregunta, estoy interesado en el grupo fundamental de la open subconjunto U(X,d)U(X,d) Rat(X,d)Rat(X,d) formado por todos los ff de manera tal que todos los puntos críticos de ff son sencillas, y todos los valores críticos son distintos. (Un punto crítico es un punto en el que la derivada de ff se desvanece; un valor crítico es la imagen de un punto crítico.) Para ser más específicos, digamos que me gustaría
encontrar un "buen" sistema de generadores de π1(U(X,d))π1(U(X,d));
para describir, para cada uno de estos generadores, su imagen en el mapa inducida por el mapa GG U(X,d)U(X,d) a el espacio de configuración B(P1(C),k)B(P1(C),k) de desordenada de subconjuntos de a P1(C)P1(C) de cardinalidad k=2(d+g−1)k=2(d+g−1) que se lleva a ff a su sucursal divisor (es decir, el divisor de los puntos críticos).
Aquí están algunos de los comentarios que pueden ser útiles (o no):
En primer lugar, aquí es cómo se puede pensar que el grupo fundamental de la Rat(X,d)Rat(X,d). Asociando a cada una de las funciones de su divisor de polos obtenemos un mapa de FF Rat(X,d)Rat(X,d) dd- th simétrica de potencia Sd(X)Sd(X)XX.
Suponga d>2g−2d>2g−2. Por la Riemann-Roch teorema, para cualquier grado dd divisor DD el espacio lineal L(D)=H0(X,O(D))L(D)=H0(X,O(D)) (que está formado por todas las funciones racionales ff tal que para cualquier x∈Xx∈X el orden de los polos de ff xx es en la mayoría de la multiplicidad de xxDD)d−g+1d−g+1. Por lo FF es surjective y una de fibra de FF Cd−g+1Cd−g+1 menos algún número de hyperplanes (estas están dadas por la condición de que el fin de la pole de ff a un punto de xx DD es menos de la multiplicidad de xxDD).
El mapa de FF no es probablemente un fibration. Sin embargo, el grupo fundamental de la Rat(X,d)Rat(X,d) es generado por los bucles en general, la fibra de FF va alrededor de uno de los hyperplanes, y los ascensores de los bucles en Sd(X)Sd(X) (todos estos son de la forma "uno de los puntos que se mueve a lo largo de un bucle en XX y el otro soporte").
Segundo, recordar que el Jacobiano J(X)J(X) XX se define como sigue. Integración a lo largo de los ciclos da un inyectiva mapa de H1(X,Z)→Cg=Hom(H0(X,ΩX),C)H1(X,Z)→Cg=Hom(H0(X,ΩX),C) y el Jacobiano de XX es el cociente. Por otra parte, una vez que hemos elegido un punto de base xxXX, obtenemos un natural mapa de j:X→J(X)j:X→J(X) define de la siguiente manera: para cualquier x′∈X tomar un camino de γ x x′y establezca j(x′) a ser la imagen en J(X) de la "integración a lo largo de γ función". Esto está bien definido mapa que puede ser extendido por Z-linealidad a Sd(X).
Abel del teorema dice que dos disjuntas eficaz divisores son los divisores de los ceros y los polos de una función racional si y sólo si sus imágenes en j coinciden. Esto puede ser útil en este problema, pero no veo cómo.