Fundamentales de los grupos de los espacios de funciones racionales

Question

Aquí es una pregunta que me pregunté a mí mismo (y no podía contestar), mientras que la lectura de "La topología de los espacios de funciones racionales" de G. Segal.

Deje $X$ ser suave, un complejo completo de la curva (=una compacta superficie de Riemann) de género $g$ y deje $Rat(X,d)$ ser el espacio de todos los regulares (=holomorphic) mapas de $X$ $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$grado $d$. En esta pregunta, estoy interesado en el grupo fundamental de la open subconjunto $U(X,d)$ $Rat(X,d)$ formado por todos los $f$ de manera tal que todos los puntos críticos de $f$ son sencillas, y todos los valores críticos son distintos. (Un punto crítico es un punto en el que la derivada de $f$ se desvanece; un valor crítico es la imagen de un punto crítico.) Para ser más específicos, digamos que me gustaría

1. encontrar un "buen" sistema de generadores de $\pi_1(U(X,d))$;

2. para describir, para cada uno de estos generadores, su imagen en el mapa inducida por el mapa $G$ $U(X,d)$ a el espacio de configuración $B(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),k)$ de desordenada de subconjuntos de a $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ de cardinalidad $k=2(d+g-1)$ que se lleva a $f$ a su sucursal divisor (es decir, el divisor de los puntos críticos).

Aquí están algunos de los comentarios que pueden ser útiles (o no):

En primer lugar, aquí es cómo se puede pensar que el grupo fundamental de la $Rat(X,d)$. Asociando a cada una de las funciones de su divisor de polos obtenemos un mapa de $F$ $Rat(X,d)$ $d$- th simétrica de potencia $S^d(X)$$X$.

Suponga $d> 2g-2$. Por la Riemann-Roch teorema, para cualquier grado $d$ divisor $D$ el espacio lineal ${\cal{L}}(D)=H^0(X,{\cal{O}}(D))$ (que está formado por todas las funciones racionales $f$ tal que para cualquier $x\in X$ el orden de los polos de $f$ $x$ es en la mayoría de la multiplicidad de $x$$D$)$d-g+1$. Por lo $F$ es surjective y una de fibra de $F$ $\mathbf{C}^{d-g+1}$ menos algún número de hyperplanes (estas están dadas por la condición de que el fin de la pole de $f$ a un punto de $x$ $D$ es menos de la multiplicidad de $x$$D$).

El mapa de $F$ no es probablemente un fibration. Sin embargo, el grupo fundamental de la $Rat(X,d)$ es generado por los bucles en general, la fibra de $F$ va alrededor de uno de los hyperplanes, y los ascensores de los bucles en $S^d(X)$ (todos estos son de la forma "uno de los puntos que se mueve a lo largo de un bucle en $X$ y el otro soporte").

Segundo, recordar que el Jacobiano $J(X)$ $X$ se define como sigue. Integración a lo largo de los ciclos da un inyectiva mapa de $H_1(X,\mathbf{Z})\to\mathbf{C}^g=Hom(H^0(X,\Omega_X),\mathbf{C})$ y el Jacobiano de $X$ es el cociente. Por otra parte, una vez que hemos elegido un punto de base $x$$X$, obtenemos un natural mapa de $j:X\to J(X)$ define de la siguiente manera: para cualquier $x'\in X$ tomar un camino de $\gamma$ $x$ $x'$y establezca $j(x')$ a ser la imagen en $J(X)$ de la "integración a lo largo de $\gamma$ función". Esto está bien definido mapa que puede ser extendido por $\mathbf{Z}$-linealidad a $S^d(X)$.

Abel del teorema dice que dos disjuntas eficaz divisores son los divisores de los ceros y los polos de una función racional si y sólo si sus imágenes en $j$ coinciden. Esto puede ser útil en este problema, pero no veo cómo.

Answer 1

De topológico, punto de vista, las funciones racionales son ramificados revestimientos de $S^2$. El grupo fundamental del espacio de aminoácidos de los revestimientos es el grupo de "elevable trenzas". Este grupo fue calculada para $d=3$ por Birman y Wajnryb [1] y para $d=4$ por mí mismo [2]. Recientemente he calculado el caso general, los resultados deben ser publicados en Cualquier Momento, Muy Pronto Ahora.

1. Birman, Wanryb, 3--veces ramificados revestimientos y la asignación de grupo de clase de una superficie, LNM 1167, 24-46
2. Apostolakis, En 4--pliegue que cubre mueve, Algebraicas y Geométricas de la Topología de 3 (2003), 117-145.
3. Mullazzani, Piergallini, el Levantamiento de las Trenzas, arXiv:matemáticas/0107117