¿Por qué debe un punto interior de a $E$ ser un elemento de $E$?

Question

Esta pregunta lleva a cabo en general de un espacio métrico $X$.

Deje $x$ ser un interior* punto de $E \subset X$ fib existe una eliminados barrio de $x$ que está contenida en $E$.

Esto es como el normal de la definición de "punto interior", excepto que usa "eliminado barrio" en lugar de "barrio", permitiendo así a un punto de no $E$ a ser un interior* punto de $E$.

Mi pregunta es: ¿por qué no es la definición estándar de "punto interior"? Veo un par de razones por las que sería un sistema más elegante.

1. "Punto límite" y "interior* punto" se definen en términos de eliminados los barrios ($x$ es un punto límite de $E$ fib eliminados todos los barrios de $x$ incluir algún punto de $E$). Esto es más simétrica.
2. (Nota: yo todavía no tiene un general/categórico de la noción de la dualidad) "punto Límite" y "interior* punto" más adecuadamente dual, para $x$ es un punto límite de $E$ fib $x$ no es un interior* punto de que el complemento de $E$, mientras que esto no es para "punto límite" y "punto interior".
3. El doble nociones de cierre y el interior son más de forma simétrica definida mediante "interior* punto". El cierre se define como la unión de $E$ y el conjunto de límite de puntos de $E$, y el interior se define como la intersección de $E$ y el conjunto de interior* puntos de $E$. La dualidad entre el cierre y la interior es más difícil de ver con la definición estándar de interior como el conjunto de puntos del interior de $E$. También la prueba de que el complemento del cierre de $E$ es el interior del complemento de $E$ se reduce a un par de aplicaciones de la ley de DeMorgan.

Entonces, ¿por qué la gente usa "punto interior" y no "interior* punto"?

Answer 1

Las nociones de "interior" y "punto límite", como usted señala, no dual. Y si hacemos uso de punto interior para definir interior y el punto límite para definir el cierre, a continuación, hemos utilizado dos no-dual nociones a definir dos conceptos. Esto es muy dissatisfying, como usted sabe. Que uno debe de nosotros tenemos y que deberíamos modificar?

Antes de saltar a la conclusión de que el "punto límite" es de oro y "punto interior" es el remanso, considere el punto de vista opuesto por un momento.

Deje $x$ ser un "límite* punto" de $E$ si todos (no elimina) barrio de $x$ intersecta $E$. Esto es como la definición de "punto límite", excepto que se utiliza el "barrio" en lugar de "eliminado barrio", permitiendo así que todos los puntos en $E$ límite* puntos de $E$.

Tres razones por las que el límite* los puntos son más elegante que el límite de puntos: Ahora límite* los puntos y los puntos del interior se definen en términos de los barrios, que es más simétrica. Límite* los puntos y los puntos del interior son ahora el doble. Y, lo que es más importante, el doble de las nociones de cierre y el interior son más de forma simétrica definida utilizando límite* puntos: el cierre se define como el conjunto de todos los límites de* puntos, y el interior se define como el conjunto de todos los puntos del interior.

Usted ver que todo el argumento contrario obras, como he demostrado. De hecho, esta forma es la mejor, debido a que el cierre interior y ambos tienen más simples definiciones con límite* punto y de punto interior que con el punto límite y en el interior* punto. De esta manera, podemos decir que los puntos del interior son sólo los puntos en el interior. Y del mismo modo podemos decir que el cierre de los puntos son los puntos en el clausura. Lo he estado llamando límite* puntos tiene un nombre estándar: adherente puntos o cierre de puntos. La gente hace uso de "límite* puntos", porque es una buena manera de pensar acerca de los cierres y conjuntos cerrados, que es más simple en muchos contextos de límite de puntos. Las personas tienden a no hacer uso de "interior* puntos de" pensar en los interiores y abrir establece para el recíproco de la razón.

Answer 2

Yo no puedo hablar mucho para categórica razones, pero aquí están mis opiniones de la topológico punto de vista.

Creo que una razón importante es que el cierre de un conjunto es mucho más fundamental del concepto de la derivada set $A^\prime$ (es decir, el conjunto de todos acumulación (límite) de los puntos de $A$). Este es, quizás, evidenciado por la definición siguiente de la clausura:

$\overline{A}$ es el más pequeño (con respecto a $\subseteq$) conjunto cerrado incluyendo $A$ como un subconjunto.

A partir de esto se puede demostrar fácilmente que la caracterización que $x \in \overline{A}$ fib cada (abierto) barrio de $x$ cumple con $A$.

Mientras tenemos la igualdad de $\overline{A} = A \cup A^\prime$, esto es una especie de una forma artificial a mirar, desde los puntos de $\overline{A}$ a la izquierda del $A^\prime$ son exactamente los puntos aislados de a $A$: aquellos elementos $x$ $A$ que han abierto un barrio que intersecta $A$$x$. Hemos de recuperar estos puntos por no preocuparse de donde abra los barrios de $x$ cumplir $A$, pero sólo insistir en que lo hacen.

Tomando el cierre de la más primaria de la que se derivan, sin demasiada dificultad podemos demostrar que $$X \setminus \mathrm{Int} ( A ) = \overline{X \setminus A}$$ or, equivalently, $$X \setminus \overline{A} = \mathrm{Int} ( X \setminus A )$$ giving a very distinct connection between the concepts of interior and closure. The same connection would not hold with the $\mathrm{Int}^*$ operador.

(Más anecdóticamente, no recuerdo haber visto jamás el $\mathrm{Int}^*$ concepto que se utiliza. Esto le da al menos la evidencia circunstancial a la idea de que topologists no han encontrado mucho uso para él, lo cual es una buena razón para no basar demasiado en la idea).

Answer 3

Una buena prueba de una nueva definición es su poder de expresividad. Lo que quiero decir con esto es que, cuando la introducción de la definición en el discurso matemático, ayuda a expresar ideas matemáticas o conceptos de una manera que mejora la comprensión, el sida descubrimiento, se acelera la comprensión de las pruebas, y así sucesivamente?

Como otros han dicho, $\text{interior}^*$ es desconocido, así que no sé si va a pasar esta prueba. Si quieres saber si va, trate de preparar un par de conferencias de la escuela primaria de la topología de uso. Quién sabe? Tal vez va a atrapar.