El área de la región delimitada por tres círculos mutuamente tangentes

Question

Aquí hay 3 círculos que se tocan entre sí.

Ahora, ¿cómo se puede encontrar el área de la región sombreada en azul en la imagen dada?

Answer 1

Se han dado pistas en los comentarios. Para hacerlo más completo, añado algunas más.

(1) $AB = R_1 + R_2$ y resultados similares para $BC$ y $CA$ .

(2) Porque todos los lados de $\triangle ABC$ se conocen, los tres ángulos (en radianes) se pueden encontrar aplicando la ley del coseno (tres veces) (o la ley del coseno, luego la ley del seno y luego la "suma de ángulos del triángulo").

(3) Es necesario aplicar el coeficiente de conversión ( $\pi$ radian $= 180$ grados) si no se ha hecho ya en (2).

(4) Superficie del sector amarillo $= \frac {1}{2}(R_2)^2 \theta $ . De nuevo, $\theta$ debe estar en radianes.

(5) Área de $\triangle ABC$ se puede encontrar por la fórmula de Heron o por la fórmula del área $A = \frac {1}{2}ab. \sin C$ .

Answer 2

La respuesta es bastante compleja (creo, suponiendo que sólo se dan los tres radios). En primer lugar, aplicar la ley del seno en el triángulo con vértices como centros de los tres círculos.( Además, suponiendo que sus radios sean $R_1,R_2,R_3$ y en consecuencia $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ los ángulos del triángulo. Tienes $$\frac{R_1+R_2}{\sin\theta_3}=\frac{R_2+R_3}{\sin\theta_1}=\frac{R_1+R_3}{\sin\theta_2}$$ Ahora para la pregunta, el área azul es el área del triángulo menos el área de los tres sectores. Matemáticamente es, $$\frac{1}{2}(R_1+R_3)(R_1+R_2)\sin\theta_1-\frac{\theta_1}{360°}\pi R_1^2-\frac{\theta_2}{360°}\pi R_2^2-\frac{\theta_3}{360°}\pi R_3^2$$ Ahora sustituye cada uno de los ángulos de la Ley del Seno (aunque será en $\sin^{-1}$ )

Edición: Ahora veo que los ángulos no pueden ser simplemente reemplazados (son interdependientes entre sí), debe haber alguna otra forma de reemplazar los ángulos.