Puedo reproducir sus resultados para$s$$A$, pero yo también estoy atascado en $z_c$. La consulta de Wolfram Alpha con una modificación integrando, los rendimientos de una relación de forma "cerrada" de la solución con una función hipergeométrica como parte de la solución.
La documentación de algunos intermedio expresiones:
$\tau = \tan{\theta}$
$d\tau = \sec^{2}{\theta} d\theta$
$z = \dfrac{1+i\tau}{1+\tau^2}e^{\tan^{-1}{(\frac{-\tau}{1})}}e^{-i\frac{1}{2}\ln{(1+\tau^2)}} = \dfrac{1+i\tan{\theta}}{\sec^{2}\theta}e^{-\theta}e^{-i\ln{(\sec{\theta})}} = \cos{(\theta)} e^{-\theta}e^{i(\theta-\ln{(\sec{\theta})})}$
$\bar{z} = (1+i\tau)^{-(1-i)}$
$\dot{z} = (-1+i)(1-i\tau)^{-(2+i)}$
$|\dot{z}|=\dfrac{\sqrt{2}}{1+\tau^2}e^{\tan^{-1}(\frac{-\tau}{1})} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sec^{2}{\theta}}e^{-\theta}$
${\rm Im}(\bar{z}\dot{z}) = \dfrac{(1-\tau)}{(1+\tau^2)^2}e^{2\tan^{-1}{(\frac{-\tau}{1})}} = \dfrac{\cos{\theta}(\cos{\theta}-\sin{\theta})e^{-2\theta}}{\sec^{2}{\theta}}$
Llego a la siguiente integral para el centro de gravedad:
$$z_c = \frac{1}{3A}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2}\theta(\cos{\theta}-\sin{\theta})e^{-3\theta}e^{i(\theta-\ln{(\sec{\theta})})} d\theta$$
el cual puede ser manipulado en
$$z_c = \frac{1}{3A}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-6\theta}(1-\tan{\theta})(e^{\theta}\cos{\theta})^{3+i} d\theta$$
y con una integración por partes usando $u = \dfrac{1}{3A}e^{-6\theta}$ $dv$ como la porción restante de la anterior integrando, la integral se puede convertir a
$$z_c = \dfrac{3-i}{5A}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-6\theta}(e^{\theta}\cos{\theta})^{3+i} d\theta$$
y luego estoy atascado.
Actualización después de avanzar en una línea diferente:
A partir de
$z{\rm Im}(\bar{z}\dot{z}) = \dfrac{(1-\tau)(1+i\tau)}{(1+\tau^2)^3(1-i\tau)^i}\left[\dfrac{1+i\tau}{1-i\tau}\right]^{i}$
la integral
$$z_c = \dfrac{4}{3\sinh{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{(1-\tau)(1+i\tau)}{(1+\tau^2)^3(1-i\tau)^i}\left[\dfrac{1+i\tau}{1-i\tau}\right]^{i} d\tau$$
no puede ser resuelto utilizando el Residuo de la Teoría, debido a los elementos elevado a la potencia $i$ que presenta singularidades en el plano complejo de los complejos de Registro() función.
Por suerte, la integral tiene una solución:
$$z_c = \dfrac{i(1+i\tau)^{-1+i}}{6\sinh(\pi)4^i}\left[{}_2F_1\left(-1+i,3+2i;i;\dfrac{1+i\tau}{2}\right)-(1+i\tau) {}_2F_1\left(i,3+2i;1+i;\dfrac{1+i\tau}{2}\right)\right]\biggr\rvert_{-\infty}^{\infty}$$
A partir de una trama de esta función, parece que converge rápidamente en ambas direcciones. Por $\tau = 2$ la función es $\approx 0$. Por $\tau = -30$ las partes real e imaginaria son relativamente planas.
Así que es muy probable que el límite sólo necesitan ser evaluados en $-\infty$ para obtener una expresión de forma cerrada
$$z_c = \lim_{\tau\to-\infty} -\dfrac{i(1+i\tau)^{-1+i}}{6\sinh(\pi)4^i}\left[{}_2F_1\left(-1+i,3+2i;i;\dfrac{1+i\tau}{2}\right)-(1+i\tau) {}_2F_1\left(i,3+2i;1+i;\dfrac{1+i\tau}{2}\right)\right]$$
Así que esto ha sido reducido a un problema de límite, que la sustitución de
$\tau = \tan\theta$, y, por tanto,$1+i\tau = \sec(\theta)e^{i\theta}$, puede ayudar.
Cavé en evaluar el límite un poco, y no creo que L'Hospital de la regla se puede utilizar aquí. Yo podría estar equivocado.