Comprensión del teorema del valor medio en la EDP

Question

Aprendí el siguiente teorema en Folland's Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (p.69 Capítulo 2):

Supongamos que $u$ es armónico en un conjunto abierto $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ . Si $x\in\Omega$ y $r>0$ es lo suficientemente pequeño como para que $\overline{B_r(x)}\subset\Omega$ entonces $$u(x)=\frac{1}{r^{n-1}\omega_n}\int_{S_r(x)}u(y)d\sigma(y)=\frac{1}{\omega_n}\int_{S_1(0)}u(x+ry)d\sigma(y)，$$ donde $$\omega_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}.$$

Me di cuenta de que no podía reconstruir inmediatamente una prueba para el teorema. Un punto clave es que hay que utilizar la identidad de Green, que es una propiedad básica de las funciones armónicas. Pero no veo ninguna "pista" de cómo la gente llega a este teorema y a esa demostración. (Tal vez este sea el problema común, al menos para mí, de la mayoría de los libros de texto). Una curiosa búsqueda en Google no me devuelve nada satisfactorio. Dado que se trata de una propiedad básica de funciones armónicas Me pregunto si es necesario conocer esta historia de las funciones armónicas para conocer bien este teorema.

Esta es mi pregunta:

• ¿Puede alguien aquí venir con un motivación de este teorema en PDE?

Mi segunda pregunta puede ser más vaga:

• ¿Cómo puedo abordar la demostración de este teorema de forma más "natural" en lugar de recordar un montón de hechos ? (En el lenguaje de Polya, ¿hay alguna heurística aquí?)

Answer 1

Puedo decirte mi prueba favorita de la propiedad del valor medio, que me parece más intuitiva que la que se hace a través de la identidad de Green. Para que la prueba sea rigurosa, hay que conocer la integración sobre la variedad $O(n)$ de todas las matrices ortogonales, pero puedes representar lo que hago como un promedio de todas las matrices ortogonales. Tomemos $x=0$ para simplificar. Heurísticamente, se esperaría que $$ \frac{1}{r^{n-1}\sigma_{n-1}}\int_{S_r(0)}u(y)\,d\sigma(y) = {\rlap{\;\bar{}}\int_{O(n)}} u(Az)\,d\sigma(A) =: f(z) $$ para $z\in\mathbb R^n$ con $|z|=r$ . En el lado izquierdo se toma la media de $u(y)$ sobre todo $y$ con $|y|=r$ en el lado derecho es la media de $u(Az)$ sobre todas las matrices ortogonales $A$ que debería ser y es de hecho el mismo.

Ahora puedes diferenciar el lado derecho bajo el signo de la integral: toma el laplaciano con respecto a $z$ . Entonces, debido a $\Delta u=0$ , se ve que $f$ es armónico. Además, $f$ es radialmente simétrica, es decir, $f(z)$ depende de $|z|$ sólo. Por último, utilice el hecho de que una función armónica radialmente simétrica definida en todo $\mathbb R^n$ es constante. Esto da como resultado $f(z) = f(0) = u(0)$ y ya está.

Answer 2

He aquí una heurística poco rigurosa de un infinitesimal versión del teorema del valor medio, que proporciona una especie de motivación para la versión macroscópica. (Probablemente se puede hacer esto preciso e intuitivo utilizando un análisis no estándar, o simplemente se puede hacer preciso utilizando $\epsilon-\delta$ . Aquí sólo doy la intuición).

Supongamos que no sabemos nada sobre la armonicidad de una función y queremos pensar en los valores medios. En concreto, demos una función $u$ y un punto $x$ queremos pensar en lo grande que es $u(x)$ se compara con el media de su vecinos infinitesimales . Así que considera

$$ \int_{B_{\delta}(x)} u(y) - u(x) dy $$

donde $B_\delta$ es la bola de radio $\delta$ . Por supuesto, si $u$ es continua, entonces como $\delta\to 0$ la expresión anterior desaparece. Así que tenemos que renormalizar dividiendo por un factor apropiado de $\delta$ . Pero olvida eso por el momento. Ahora, podemos suponer, por traducción, que $x = 0$ . Y asumimos $u$ es lo suficientemente suave como para que podamos expandir en Taylor $u(y)$

$$ u(y) = u(0) + \sum_{i = 1}^d y_i\partial_iu + \frac12 \sum_{i,j = 1}^d y_iy_j\partial^2_{ij} u + \ldots $$

Ahora, el $u(0) - u(0)$ término se anula. El primera orden desaparece, porque $\partial_iu(0)$ es sólo una constante, y estás integrando $y_i$ que es un impar sobre un dominio simétrico. También se ve que, por la misma razón, la integral de $y_iy_j\partial^2_{ij}u(0)$ en $B_\delta$ es cero, si $i\neq j$ . Así que se queda con que el término de menor orden

$$ \int_{B_\delta}u(y) - u(0) dy \sim \int_{B_\delta} \sum_{i = 1}^d y_i^2 \partial_i^2 u(0) dy = \triangle u(0) \cdot \int_{B_\delta} y_1^2 dy$$

donde, por simetría esférica, la integral sobre la bola de $y_i^2$ es una constante fija independiente de $i$ . Así que tienes que el laplaciano de una función mide la desviación infinitesimal de una función respecto a su media .

Una vez que se tiene la versión infinitesimal, la versión macroscópica debe ser algo que se sugiera como posiblemente verdadera.

Answer 3

La siguiente prueba está extraída (casi literalmente) del libro de libre acceso Teoría de las funciones armónicas [pdf] de Axler, Bourdon y Ramey, que también es un buen libro que recomendaría para estudiar las funciones armónicas.

Dejemos que $n>2$ . Definir $\Omega = \{ \epsilon<\|x\|<1, x\in\mathbb{R}^n \}$ y $v(x)=\|x\|^{2-n}$ y que $u(x)$ sea una función armónica. Denotemos la esfera unitaria por $S$ . Utilice la segunda identidad de Green en $u$ y $v$ para conseguir

$$ 0 = (2-n) \int_S u\, ds - (2-n)\epsilon^{1-n} \int_{\epsilon S} u\, ds - \int_S \frac{\partial u}{\partial n} ds -\epsilon^{2-n} \int_{\epsilon S} \frac{\partial u}{\partial n} ds.$$

Podemos utilizar el hecho de que $\oint \partial u / \partial n ds = 0 $ (de nuevo por Green) para sacar las dos últimas integrales. Entonces tenemos, después de la normalización

$$ \frac{1}{\omega_n} \int_S u\, ds = \frac{1}{\epsilon^{n-1} \omega_n} \int_{\epsilon S} u\, ds = u(x) \text{ as } \epsilon\to 0. $$

Este razonamiento se generaliza desde la esfera unitaria a cualquier esfera mediante una escala o traslación adecuada $u$ . En el caso de los planos con $n=2$ , defina $v(x) = \ln \| x\|$ y utilizar el mismo razonamiento.