¿Existe una función no limitada que sea uniformemente continua?

Question

Sé que $1/x$ no tiene límites en $(0,5)$ (por ejemplo) y que, al no tener límites, no es uniformemente continua.

¿Tiene que estar acotada una función para ser uniformemente continua? No creo que exista ninguna.

Answer 1

La función $f(x) = x$ no tiene límites en $\mathbb{R}$ pero uniformemente continua en $\mathbb{R}$ . La función $f(x) = \sqrt{x}$ es otro ejemplo interesante.

Tal vez querías preguntar algo como, si $I$ es un intervalo acotado (no necesariamente cerrado) y $f: I \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua, entonces es $f$ ¿acotado? La respuesta es sí. Encuentra $\delta > 0$ tal que para $|x - y| < \delta$ , $|f(x) - f(y)| < 1$ . Entonces, dividiendo el intervalo $I$ en un número finito de piezas más pequeñas que $\delta$ , puede mostrar $f$ está acotado.

Lo mismo ocurre si $I$ es cualquier conjunto acotado, no sólo un intervalo.

Answer 2

Sólo añadir que una derivada acotada es suficiente para una función (obviamente diferenciable) $ f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ para ser uniformemente continuo, pero una condición necesaria para el límite como $ x\rightarrow \infty $ sea finito (cuando el límite $f'(x)$ existe como $x \rightarrow \infty$ ) es que lim $_{x\rightarrow \infty}f'(x)=0. $ Por lo tanto, para que tu afirmación sea verdadera, tienes que añadir estas dos condiciones: el límite de $f'(x)$ existe al ir a $\infty$ y es $0$ .

EDIT: Como ha señalado timur, estas condiciones son necesarias, pero no suficientes, es decir, necesitamos $f'(x) \rightarrow 0$ para que el límite sea finito, es decir, para que f esté acotada. Sospecho que añadir una condición a $|f''(x)| \rightarrow \infty$ es suficiente, es decir, la función disminuye lo suficientemente rápido como para no volverse ilimitada.