He sido el traqueteo a través de algunas pruebas con respecto a la dilogarithm, también conocido como Spencer función.
\begin{alignat}{2} & \operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}_2(-z) = \frac{1}{2} \operatorname{Li}_2(z^2) && \text{(Double Identity)} \tag{1} \\ & \operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}_2(1-z) = \frac{\pi^2}{6} - \log z \log (1 - z) \ && \text{(Eulers reflection formula)} \tag{2} \\ & \operatorname{Li}_2(-z) + \operatorname{Li}_2\left( \frac{z}{1+z} \right) = -\frac{1}{2} \log^2(z+1) && \text{(Landen's Identity)} \tag{3} \\ & \operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}_2\left( \frac{1}{z} \right) = - \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}\log^2(-z) \ \ && \text{(Inversjons formula)} \tag{4} \end{alignat} Con la base de $\text{Abel's Identity}$ (ver Acredite la identidad de Abel para la Dilogarithm.). He sido capaz de demostrar todas las identidades, excepto la última. (Mi prueba para $(3)$, era un poco complicada, por lo que las sugerencias no se aprecia..). Todavía tengo que probar a $(4)$, aunque la he dado dos intentos de abajo
Intento 1
En el Abel de Identidad deje $x=y=1-z$ y dividir por $2$ obtener $$ \frac{1}{2}\log(-z)^2 = \operatorname{Li}_2\left( -\frac{1+z}{z}\right) - \frac{1}{2} \operatorname{Li}_2\left( \left[ \frac{1+z}{z} \right)^2 \right) - \operatorname{Li}_2(1+z) $$ Por ahora el uso de $(1)$ $z = [1+1/z]^2$ e insertarlo en la ecuación anterior puedo obtener $$ \frac{1}{2}\log(-z)^2 = - \left[ \operatorname{Li}_2\left( \frac{1}{z} + 1\right)- \operatorname{Li}_2(1 + z)\right] $$ y desde aquí estoy atascado. Está cerca de lo que quiero, pero no puedo encontrar cualquier forma de transformar el lado derecho.
Intento 2
Desde el chat de la sugerencia fue que en lugar de mirar a la integral de la definición, esto da \begin{align*} \operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}\left( \frac{1}{z}\right) & = - \int_0^z \frac{\log(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t - \int_0^{1/z} \frac{\log(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t \\ & = - \int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {z - t} \right) + \log \left( {1 - zt} \right) - \log z}}{t}dt} \\ & = -\zeta(2) + \int_0^1 \frac{\log z - \log(1-zt)}{t}\,\mathrm{d}t \end{align*} El último paso que utiliza $$ \int_0^1 \frac{\log(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t = \int_0^1 -\frac{1}{t} \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n} \,\mathrm{d}t = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \zeta(2) $$ Y aquí es donde me detuve. Creo que este argumento puede ser terminado por la expansión de la serie, pero me perdí en el álgebra. Si es posible me gustaría mucho probar esta identidad de Abel de la Identidad y de las tres ecuaciones se indicó anteriormente. Cualquier sugerencia o soluciones es muy apreciado como siempre =)
