Demostrar que existe un único polinomio $\int_{x}^{x+1} b_{n}{(t)} dt = x^n$

Question

Para cada n = 1, 2, 3, . . . demostrar que existe un único polinomio $ b_{n}{(x)} $ que satisface la ecuación

$\int_{x}^{x+1} b_{n}{(t)} dt = x^n$

n = 1, encontrar $ b_{1}{(t)} = t + x_{0} $ y encontrar $x_{0} = -\frac{1}{2}$

n = 2, $ b_{2}{(t)} = t^2 - t + \frac{1}{6} $

Cómo puedo probar que el polinomio es único y siempre satisface a la ecuación?

Answer 1

Primero observar que

$$ \int_x^{x + 1} t^n \,dt = \frac{(x + 1)^{n + 1} - x^n}{n+1} = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^n {n + 1 \elegir k} x^k. $$

Por lo tanto

$$\int_x^{x+1} t^n \,dt = x^n + \text{lower order terms}.$$

Por lo tanto, la matriz en la cual se escribe $\{\int_{x}^{x+1} t^n \,dt : n = 0, 1, 2, 3\dots \}$ en términos de $\{1,x,x^2,x^3,\dots\}$ es triangular con los de abajo de la diagonal. En particular, es invertible. Debido a $\{1,x,x^2,x^3,\dots\}$ es una base para el anillo de polinomios, esto significa que $\{\int_{x}^{x+1} t^n \,dt : n = 0, 1, 2, 3\dots \}$ es también una base. Por lo tanto, cada polinomio en $x$ puede escribirse de forma única como combinación lineal

$$ \begin{align*} p(x) &= a_n \int_{x}^{x + 1} t^n \,dt + a_{n - 1}\int_x^{x+1} t^{n - 1} \,dt + \dots + a_1 \int_x^{x+1} t \,dt + a_0 \int_x^{x+1} 1\, dt \\ &= \int_x^{x+1} a_nt^n + a_{n-1}t^{n-1} + \dots + a_1t + a_0 \, dt. \end{align*} $$

Answer 2

Tomando un derivado con respecto a $x$ rendimientos $$ -n x^{(-1 + n)} - b_n(x) + b_n(1 + x)=0,$$ which is a simple difference equation with solution $$b_n(t)=-n \zeta_{1 - n}(t),$$ where $\zeta_{1 - n}(t)$ is the Hurwitz zeta function. For $n=1,2...$ que por supuesto da a sus soluciones.

Para un entero negativo orden, es decir,$1-n<=0$, $\zeta$ función está relacionada con la Bernouli polinomios, ver aquí.

Answer 3

Creo que este problema tiene más que ver con el álgebra lineal de análisis real.

Deje $\phi: \mathbb R_n[X]\to\mathbb R_n[X], P\mapsto (x\mapsto \int_x^{x+1}P(t)dt) $.

• $\phi$ está bien definido. Vamos $Q:x\mapsto \int_x^{x+1}P(t)dt$. $Q$ de hecho es un polinomio, y desde $$\int_x^{x+1}t^n dt = \frac{(x+1)^{n+1}-x^n}{n+1}=\frac{1}{n+1}x^{n}+\ldots$$ $Q$ has degree less than $$n.

• $\phi$ es lineal (os dejo los detalles para usted).

• $\phi$ es inyectiva: vamos a $P\in \mathbb R_n[X]$ tal que $\phi(P)=0$. Tomar la derivada con respecto al $x$ conseguir $\forall x \in \mathbb R,\; P(x+1)-P(x)=0$. Desde $P$ es un polinomio, esto es cierto para la compleja $x$, por lo tanto, si $x_0$ es un complejo de raíz de $P$, entonces para todos $n$, $x_0+n$ es una raíz de $P$, por lo tanto $P=0$.

$P$ es lineal e inyectiva entre espacios lineales que tienen las mismas dimensiones, por lo tanto, debe ser uno-a-uno.