La suma de los recíprocos de los números primos

Question

Si $p_n$ es el enésimo número primo, entonces probar que:$$\frac1p_1+\frac1p_2+....+\frac1p_n$$ no es un número entero.

Desde $p_1 ,p_2,..., p_n$ son todos primos de su recíproca no es un entero, por lo que la suma no debe ser un entero. Pero no estoy seguro.

Answer 1

Para obtener la idea de empezar con tres distintos de los números primos $p$, $q$, y $r$. Si $\dfrac 1p + \dfrac 1q + \dfrac 1r$ es un número entero $k$ $$\dfrac 1p + \dfrac 1q + \dfrac 1r= k$$ de modo que $$pq + pr + qr = kpqr.$$

Esto implica, entre otras cosas, que el $r | pq$ que no es posible. Esto fácilmente se generaliza a $n$ distintos números primos.

Answer 2

Sugerencia: ${1\over p_1}+...+{1\over p_n}={{p_2..p_n+p_1p_3..p_n+..p_1..p_{n-1}}\over p_1..p_n}$.

$p_2..p_n+p_1p_3..p_n+..p_1..p_{n-1}$ es primo con $p_1$.

Answer 3

Una más general resultado:

si $a_1,\cdots,a_n$ son no-cero enteros tales que al menos uno de ellos no dividir el producto de los otros, entonces $$\frac1a_1+\frac1a_2+\cdots+\frac1a_n$$ no es un entero.

WLOG suponemos que $a_1$ no divide $a_2\cdots a_n$. Deje $A_i=\prod_{j \neq i} a_j$, luego $$\frac1a_1+\frac1a_2+\cdots+\frac1a_n=\frac{A_1+\dots + A_n}{a_1\cdot a_2\cdots a_n}.$$ Ahora $a_1$ divide el denominador y el $A_2+\dots + A_n$, pero $a_1$ no divide $A_1$. Por lo tanto, $a_1$ no dividir el numerador y la fracción no puede ser un número entero.

Answer 4

Sugerencia: me gustaría ir para una prueba por inducción. Tenga en cuenta que para que la suma sea un número entero, debemos tener $$ \frac 1{p_1} + \cdots + \frac 1{p_{n-1}} = k - \frac{1}{p_n} $$ para algunos entero $k$. Ahora, el número de la derecha puede ser escrito como una reducción de la fracción en la forma $\frac{kp_n - 1}{p_n}$, por lo que su denominador es $p_n$. Ahora, sostienen que el denominador del número racional en la izquierda (en forma reducida) puede también ser $p_n$.

Answer 5

Supongamos $$n=\frac1p_1+\frac1p_2+....+\frac1p_n \in \mathbb{Z}$$

Luego tenemos a $$n\prod_{i=1}^n p_i=\sum_i^n\prod_{j\neq i}p_j$$

Tomando $\mod p_1$,

Tenemos $$0 \equiv \prod_{j \neq 1} p_j \mod p_1$$

lo cual es una contradicción.