Estas particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann y la integral de Riemann-Stieltjes.

Question

Deje $$\alpha(x) = \left\lbrace \begin{array}{cc} 0 & x=0\\ \dfrac{1}{2^n} & \dfrac{1}{3^n} < x \leq \dfrac{1}{3^{n-1}}\quad n=1,2,...\end{array}\right.$$ Evaluar $$\int_{0}^{1}{x\mathrm{d}\alpha(x)}$$

Intento: no sé cómo hacer para que esta formalmente, pero sé que es similar al problema de la evaluación de la R-S integral donde $\alpha(x)$ es la función de salto. Así que Si me evaluar la función $\alpha(x)$ para algunos valores de $n$, entonces la función tiene este aspecto $$\alpha(x) = \left\lbrace \begin{array}{cc} 0 & x=0\\ \vdots & \vdots \\\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{27} < x \leq \dfrac{1}{9} \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{9} < x \leq \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} < x \leq 1 \end{array}\right.$$ So $f(x)=x$ is continuous and $\alpha(x)$ is monotonically increasing. Hence the answer should be $$\int_{0}^{1}{x \mathrm{d}\alpha(x)} = \sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\dfrac{1}{2^{n+1}}}=\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\dfrac{1}{6}\right)^n}=\dfrac{1}{10}$$

Así que mis preguntas son: (a) Es la respuesta correcta? Si sí, entonces ¿cómo puedo escribir esto formalmente? (b) Si la respuesta es incorrecta, en qué dirección puede usted proporcionarme para llegar a la respuesta correcta?

Gracias!

Answer 1

Creo que su respuesta es bastante correcto. Voy a esbozar una alternativa, wimpy el método de integración por partes:

$$\int_0^1 x \, d\alpha(x) = [x \, \alpha(x)]_0^1 - \int_0^1 dx \, \alpha(x)$$

El integrado plazo es $1/2$, y el resultado de la integral es sencillo:

$$\int_0^1 x \, d\alpha(x) = \frac12 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \left ( \frac{1}{3^{n-1}}-\frac{1}{3^n}\right) = \frac12 - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6^n} = \frac{1}{10}$$