Reducción dimensional y solución de Schwarzschild

Question

Es bien sabido que, dado un vector de Killing $\xi_\mu$ para una métrica, ésta puede ser reducida dimensionalmente. Este es exactamente el caso de la solución de Schwarzschild debido a la simetría rotacional. Este procedimiento es bastante general y siempre se puede reformular un modelo general 2d (o 3d), como el modelo Jackiw-Teitelboim, de la relatividad general y obtener soluciones para el caso 4d con las propiedades de simetría dadas.Una referencia sobre esto es este . El efecto, como siempre ocurre en la reducción dimensional, es introducir otro campo en la acción gravitatoria.

Hasta ahora no he podido ver la derivación de la métrica reducida de Schwarzschild a partir de las ecuaciones de Einstein reducidas dimensionalmente. Esto se da generalmente por sentado. Por lo tanto, agradecería ver tal derivación o conseguir algún tutorial sobre esto.

Gracias.

Answer 1

La acción de Einstein-Hilbert dimensionalmente reducida de una métrica esféricamente invariante es un caso especial de la gravedad dilatónica bidimensional. Este tipo de teorías ha sido objeto de una investigación bastante amplia al menos en la última década. Tiene aplicaciones en sistemas integrables, cuantificación de la gravedad 1+1 y (lo que es relevante para esta cuestión) ofrece una prueba alternativa del teorema de Birkhoff (: La solución de Schwarzchild es la única solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein en el vacío). En muchos de estos trabajos la solución de Schwarzchild se obtuvo como un subproducto como la solución de las ecuaciones de campo 2-d

Técnicamente no es muy fácil ya que requiere la solución de ecuaciones diferenciales parciales de campo no lineales en 2D. En la siguiente referencia por Marco Cavaglià la derivación es bastante transparente, que puede resumirse como sigue:

Partiendo de la métrica general esféricamente simétrica 3+1:

$ds^2 = \phi^{-\frac{1}{2}}g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}+\phi d\Omega^2$

(los índices corren sobre un espacio lorentziano de 2). Tras la sustitución en la acción de Einstein-Hilbert y la integración de las coordenadas angulares, se obtiene la siguiente teoría reducida en 2d:

$S = \int d^2x \sqrt{-g}[\phi R^{(2)}(g) + V(\phi)]$ , con ,

$V(\phi)=\frac{1}{2\sqrt\phi}$

Las ecuaciones de campo:

$ (\nabla_{(\mu}\nabla_{\nu)}- g_{\mu\nu}\nabla_{\sigma}\nabla^{\sigma})\phi + \frac{1}{2}g_{\mu\nu}V(\phi)=0$

$R+\frac{dV}{d\phi}=0$

Las ecuaciones de campo no lineales pueden resolverse mediante una transformación de Bäcklund:

$ \nabla_{\mu} \psi = \frac{\nabla_{\mu}\phi }{\nabla_{\sigma}\phi\nabla^{\sigma}\phi}$

Lo que lleva a las siguientes ecuaciones de campo lineales

$\nabla_{\sigma}\nabla^{\sigma}\psi = 0$

y

$\nabla_{\sigma} M = 0$

con

$M = N - \nabla_{\sigma}\phi\nabla^{\sigma}\phi$

y

$N = \int^{\phi}V(\phi\prime)d\phi\prime$

Las ecuaciones de campo lineales pueden resolverse en la galga conforme:

$ds^2 = \rho(u,v)dudv$

como:

$\psi = U(u) + V(v)$ y $M=const.$

La solución de la métrica se obtiene a partir de la ecuación de transformación de Bäcklund:

$\rho^2 = \partial_u\phi \partial_v\phi\partial_u\psi \partial_v\psi$ o

$\rho= (N(\phi)-M)\partial_u\psi \partial_v\psi$ ,

y

$\frac{d\psi}{d\phi} = \frac{1}{N-M}$

Realizando una transformación de coordenadas a las variables independientes $U$ y $V$ en lugar de $u$ y $v$ respectivamente. Obtenemos:

$\rho= N(\phi(U+V))-M)$

Cambiando de nuevo las coordenadas a T=U-V y $\phi(U+V)$ obtenemos:

$ds^2 = (N-M)dT^2+(N-M)^{-1}d\phi^2$

que es la solución de Schwarzchild para $N=\sqrt\phi$ .

Obsérvese que la métrica no se ha supuesto estacionaria, por lo que esta derivación consiste en una demostración del teorema de Birkhoff.