Prueba $\frac{x^n}{n!} \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$

Question

Intento demostrar la pregunta del título. Me preguntaba si alguien podría revisarla, añadir alguna prueba alternativa para mi propio conocimiento, saludos. Además, se me permite utilizar este hecho en la prueba, lo que hago:

Si $|a| < 1$ entonces $a^n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$

Dejemos que $N > 2x$ entonces:

$\left|\frac{x^n}{n!}\right| = \left|\frac{x^N}{N!} \left( \frac{x}{N+1} \frac{x}{N+2} \dots \frac{x}{n} \right)\right|$

Obsérvese que los términos entre paréntesis son todos menores que $\frac{1}{2}$ porque para algún número entero $c$ , $\frac{x}{N + c} < \frac{x}{N} < \frac{1}{2}$ . Entonces tenemos,

$\left|\frac{x^n}{n!}\right| < \left|\frac{x^N}{N!}\right| \left( \frac{1}{2} \right)^{n - N}$

Claramente, $\left|\frac{x^N}{N!}\right| \left( \frac{1}{2} \right)^{n - N}$ converge a $0$ utilizando el hecho indicado al principio de la prueba. Entonces por el teorema del sándwich (teorema del apretón), $\left|\frac{x^n}{n!}\right|$ converge a $0$ .

Answer 1

Podríamos demostrar que la suma $$S = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ converge, lo que demostraría automáticamente el resultado requerido. (De hecho, esto convergería a $e^x$ ). Hay muchas formas de demostrar este hecho (expansión de la serie de Taylor, etc). A continuación, utilizamos el teorema de que cualquier suma positiva convergente infinita debe tener los términos que tienden a 0

Answer 2

Tu prueba parece estar bien. Para su información, tenga en cuenta que $2$ puede sustituirse por cualquier real mayor que $1$ .

Answer 3

Una prueba alternativa. Sabemos que $$ n! = \Gamma(n+1) = \int_0^\infty t^n e^{-t}dt $$ Asumiendo por el momento $x > 0$ , $$ \frac{n!}{x^n} = \int_0^\infty \left(\frac{t}{x}\right)^ne^{-t}dt = x\int_0^\infty u^n e^{-xu}du > x\int_2^\infty u^ne^{-xu}du > x\int_2^\infty 2^n e^{-xu} du = 2^ne^{-2x} $$ Así, $0 < x^n/n! < 2^{-n}e^{2x}$ , lo que da el resultado deseado del teorema del apretón.