necesidad de demostrar el uso de Cauchy producto de serie para todos los $\left|z\right|<1$ que $$\frac{1}{\sqrt{1-z}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}z^{n}$$ (con la agencia apropiada de la función de raíz)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
camickr
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Demostrar que la serie converge (absolutamente) por $|z|<1$, entonces el producto de Cauchy de la fórmula dice $$\left(\sum_{n=0}^\infty\frac1{4^n}\binom{2n}nz^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{4^n}\binom{2(n-k)}{n-k}\binom{2k}kz^n$$
Ahora a probar $$\sum_{k=0}^n\binom{2(n-k)}{n-k}\binom{2k}k=4^n$$ De modo que el cuadrado de la suma es $$\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac1{1-z}$$ $\dfrac1{\sqrt{1-z}}$ es analítica en el disco $|z|<1$ y los partidos de la serie (que también es analítica) por $z\in\mathbb [0,1)$ por los cálculos anteriores, ya que ambos son claramente positivos raíces de $\dfrac1{1-z}$. Por lo tanto tienen que ser la misma para todos los $|z|<1$.
Detalles:
La prueba de razón nos dice que el radio de convergencia es $$\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n+1}}{4^n}\frac{\binom{2n}n}{\binom{2(n+1)}{n+1}}=4\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}=4\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=1$$
La combinatoria de identidad es más difícil de lo esperado, para un bijective prueba de ver esta respuesta: la Identidad de la convolución de la central de los coeficientes binomiales
Sospecho que también debería ser posible encontrar un bijection a los subconjuntos de a $2n$ no $4^n$ de ellos, pero no veo cómo.
