Supongamos que usted está construyendo un domino de la torre con piezas idénticas de unidad de longitud. Coloque una nueva ficha de dominó, de una en una, en la parte superior de la torre. Sin embargo, hay un mensaje de error aleatorio en la colocación de las fichas de dominó, por lo que una nueva pieza se coloca un poco pequeña distancia aleatoria en el centro de la pieza anterior, $x_{n+1}=x_n + \delta$ donde $x_n$ es la posición horizontal de la n-ésima de la pieza. El tamaño característico del error aleatorio es $\sigma\ll$ 1, por ejemplo, $\delta$ se extrae de una distribución Gaussiana, $exp(-(\delta/\sigma)^2)$, o a partir de una distribución uniforme $-\sigma/2 < \delta < \sigma/2$, o de algunos otros. Obviamente, una parte de la torre será, finalmente, el equilibrio y caerá. Pregunta: ¿Cómo es la máxima altura de la torre, $\langle N \rangle$, dependen $\sigma$? Experimentalmente (en un equipo) veo que la ley de escala es muy simple: $\langle N \rangle \propto 1/\sigma^2$ (para cualquier función de distribución utilizada para $\delta$). ¿Cómo puede ser esto deriva analíticamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Yo no tenía una rigurosa prueba aquí, pero el siguiente análisis debe proporcionar algún razonamiento a su pregunta.
Si denotamos $\delta_i=x_i-x_{i-1}$, podemos definir $$ \Delta_M^{(N)}\equiv \frac{1}{N-M}\sum_{i=1}^{N-M}i\delta_{N-i+1}=\frac{1}{N-M}\sum_{i=M+1}^N x_i -x_M $$
Debido a $\delta_i \sim (i.i.d.) (0,\sigma^2)$, $$ \text{Var}(\Delta_M^{(N)})=\sum_{i=1}^{N-M}\left(\frac{i}{N-M}\right)^2\text{Var}(\delta_{N-i+1}) = \frac{(N-M+1)(2N-2M+1)}{6(N-M)}\sigma^2, \quad \text{media}(\Delta_M^{(N)})=0 $$
La condición de que se caiga la torre a la altura de la $N$ es $$ \text{Condición }a_N:\quad \existe M<N, \text{s.t.} \left|\Delta_M^{(N)}\right|>0.5 $$ $$ \text{Condición }b_N:\quad \forall n<N, \forall k<n, \left|\Delta_k^{(n)}\right|<0.5 $$
Así que la máxima altura $$ \langle N \rangle = \sum_{N=2}^\infty N \cdot P(a_N \cap b_N) $$
Por desgracia, $a_N$ $b_N$ no parece ser independiente de mí, y no sé cómo evaluar la probabilidad conjunta. Lo que es peor, ni siquiera sé cómo evaluar $P(a_N)$ o $P(b_N)$. Por ejemplo,
$$ P(a_N)=P\left(\bigcup_{M<N} \left|\Delta_M^{(N)}\right|>0.5 \right) $$ De nuevo esto es difícil de evaluar porque no creo $\Delta_M^{(N)}$ son variables aleatorias independientes dentro de la misma $N$.
Lo que puedo hacer es dar el siguiente, $$ \forall M<N, \quad P\left(\left|\Delta_M^{(N)}\right|>0.5\right) \le la P\left(\left|\Delta_1^{(N)}\right|>0.5\right) $$
Supongamos $\delta_i$ sigue la distribución normal, BRUTO estimación de la expectativa de altura, PROBABLEMENTE dará como $$ \tilde{N} \sigma^2 = \sum_{N=2}^\infty N \sigma^2 P\left(\left|\Delta_1^{(N)}\right|>0.5\right) \approx \sum_{N=2}^\infty N \sigma^2 \chi_1^2\left[(0.5)^2/(N\sigma^2/3)\right]\approx \int_0^\infty x \chi_1^2(0.75/x) dx =\text{const.} $$
Aquí $\chi_1^2(x)$ es el complementario del CDF de chi-cuadrado de distribución con un grado de libertad. El $\approx$ signo tiene aquí porque $\sigma^2\ll 1$
Por lo que esta estimación aproximada tiene la propiedad de $\tilde{N} \propto 1/\sigma^2$
Nota: el normal de la asunción de $\delta_i$ no es necesario para la conclusión, porque
De acuerdo con el límite de la teoría, aunque $\delta_i$ no normal, $\Delta_1^{(N)}$ es aproximadamente normal distribuido en un gran $N$
Usted puede reemplazar a $\chi^2$ distribución con la correspondiente varianza de la distribución de su distribución sin cambiar la conclusión.
