Deje $H$ ser un subgrupo del grupo de $(R, +)$ tal que $H$ $∩$ [-1,1] es un conjunto finito que contiene un elemento distinto de cero. Mostrar que $H$ es cíclico.

Question

Observaciones:

Desde $H$ es un subgrupo de $(R, +)$ $0 \in H.$

Si $1 \in H,$, a continuación, todos los enteros positivos pertenecen a $H.$ Pero $H$ es cerrado respecto de la adición, por lo que los números enteros negativos deben pertenecer a $H$. Del mismo modo, para $-1.$ si $1$ o $-1 \in H$, entonces el conjunto de los números enteros pertenece a $H.$

Si $1/n$ $H$ (donde $n$ es un entero positivo), a continuación, $n.(1/n) = 1$ también pertenece a $H,$, lo que a su vez se asegura de que todos los números enteros pertenecen a $H.$ Algo similar puede decirse acerca de $-1/n$.

Así se observa que el $H$ contendrá el conjunto de los números enteros. Pero, ¿cómo llego a la conclusión de que en cada caso $H$ es isomorfo a $\mathbb Z$, y por lo tanto es cíclico?

Answer 1

Sugerencias:

Deje $\;h\;$ ser mínimo wrt $\;\begin{cases}h\in H\\0<h<1\end{cases}\;\;\;$ , y vamos a $\;x\in H\;$ .

Podemos escribir $\;x=mh+r\;,\;\;m\in\Bbb Z\;,\;\;0\le r<h\;$ . Deducir que debe ser $\;r=0\;$ si no una contradicción a minimality.

Answer 2

Vamos a tomar el valor en Timbuc la respuesta (que, por cierto, ofrece un muy buen indicio), pero eliminando el requisito de que $h<1$. Por lo $h$ es el mínimo elemento positivo de $H$ y sabemos que esto existe desde $\min [(H \cap (0,1])\cup \{1\}]$ es un límite inferior.

Así que tome $x\in H$. Deje $r$ menos no negativa elemento en el conjunto $$ R:= \{x - mh : m\in \mathbb{Z}\} $$ Pretendemos que $r=0$, y luego tendríamos $H=\langle h \rangle_{\mathbb{Z}}$.

Ya que para algunos $m\in\mathbb{Z}$, $r = x - mh$, tenemos $r\in H$. Por otra parte, $r<h$ ya que de lo contrario $0\leq r-h=x-(m+1)h$ sería un no negativo menor elemento de a $R$. Por lo tanto, por minimality de $h$ debemos tener $r=0$.

Answer 3

Sugerencia! Pensar acerca de la intersección. Es finito por lo que si te "saca" la $0$, ahora usted puede tomar un mínimo elemento, vamos a llamar a $x$. Ahora bien, si todos los demás elementos no son un múltiplo de $x$, piensa ¿por qué tendríamos una contradicción con minimality.