Es posible tener un número de secuencias que no tienen fórmula para resolverlos?

Question

Estoy de ninguna manera avanzada en matemáticas, pero estoy tratando de encontrar una fórmula para obtener el valor de n de la siguiente secuencia: $1,4,10,20,35,56,84$.

Yo estoy usando la 'diferencia' tablas de probar y con una fórmula y actualmente estoy en el $n$-ésimo término: $$n^3-5n^3+25n^3-125n^3+625n^3+3750n^3+22500n^3+135000n^3+810000n^3+4860000n^3$$

No estoy seguro de si estoy usando un mal método, o si me ha ido mal en alguna parte, pero parece que el número estoy multiplicando por n es creciente con ningún signo de nivelación.

Si me siguen uso de una diferencia en la tabla I, finalmente, llegar a una fórmula o es posible que este número continuará para aumentar infinitamente?

Answer 1

Diferencia en la apariencia de la tabla

\begin{array}{|c|c|c|c|} 1 &\\ & 3 &\\ 4 & & 3\\ & 6 & & 1\\ 10 & & 4 \\ & 10 & & 1\\ 20 & & 5\\ & 15 & & 1\\ 35 & & 6 \\ & 21 & & 1\\ 56 & & 7\\ & 28 \\ 84 \\ \end{array}

$1$st column: números dados.
$2$nd column: diferencias: $3 = 4-1, \ \ 6 = 10-4, \ \ 10 = 20 - 10, \ \ldots$.
$3$-rd columna: diferencias: $3 = 6-3, \ \ 4 = 10-6, \ \ 5 = 15-10, \ \ldots$.
$4$-ésima columna es la columna constante, por lo que debe ser la fórmula

$$ a_n = c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + c_3 n^3. $$

---

Para encontrar el siguiente valor, vamos a continuar tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|} 1 &\\ & 3 &\\ 4 & & 3\\ & 6 & & 1\\ 10 & & 4 \\ & 10 & & 1\\ 20 & & 5\\ & 15 & & 1\\ 35 & & 6 \\ & 21 & & 1\\ 56 & & 7\\ & 28 & & \color{red}{1}\\ 84 & & \color{red}{8}\\ & \color{red}{36}\\ \color{red}{120} \\ \end{array}

$\color{red}{1}$ $-$ debido a $4$-ésima columna es constante;
$\color{red}{8} = 7+\color{red}{1}$;
$\color{red}{36} = 28+\color{red}{8}$;
$\color{red}{120} = 84+\color{red}{36}$;

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Si desea encontrar la fórmula, entonces usted puede crear un sistema:

$$ \left\{ \begin{array}{r} c_0 + c_1+c_2+c_3 = 1; \\ c_0 + 2 c_1+4c_2+8c_3 = 4; \\ c_0 + 3 c_1+9c_2+27c_3 = 10; \\ c_0 + 4 c_1+16c_2+64c_3 = 20. \\ \end{array} \right. $$

Sistema con la matriz de Vandermonde.

$$ \left\{ \begin{array}{r} c_0 + c_1+c_2+c_3 = 1; \\ c_1+3c_2+7c_3 = 3; \\ 2 c_1+8c_2+26c_3 = 9; \\ 3 c_1+15c_2+63c_3 = 19. \\ \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{r} c_0 + c_1+c_2+c_3 = 1; \\ c_1+3c_2+7c_3 = 3; \\ 2c_2+12c_3 = 3; \\ 6c_2+42c_3 = 10. \\ \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{r} c_0 + c_1+c_2+c_3 = 1; \\ c_1+3c_2+7c_3 = 3; \\ 2c_2+12c_3 = 3; \\ 6c_3 = 1. \\ \end{array} \right. $$

Entonces tenemos:

$$ \left\{ \begin{array}{l} c_3 = \dfrac{1}{6}; \\ c_2= \dfrac{1}{2}; \\ c_1 = \dfrac{1}{3}; \\ c_0 = 0. \\ \end{array} \right. $$

Así,

$$a_n = \dfrac{n}{3} + \dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n^3}{6} = \dfrac{2n+3n^2+n^3}{6}.$$

Usted puede probar esta fórmula:

$a_1 = \dfrac{2+3+1}{6}=1$,

$a_2 = \dfrac{4+12+8}{6}=4$,

$a_3 = \dfrac{6+27+27}{6}=10$,

$\ldots \ldots$.

Answer 2

inténtelo de nuevo. Anoche no me deja publicar el jpeg de Pascal el triángulo de la computadora de mi casa.

Bueno, que trabajó. Las "diagonales" son las cadenas de números paralela a la frontera cadenas de todos los 1. Su $1,4,10,20,35,56,84,\ldots$ es la cuarta diagonal. Es simétrica, de forma paralela a cualquiera de los bordes de los 1.

Answer 3

En general, es útil conocer algunos otros secuencias estándar cuando usted está buscando en primeras diferencias. De hecho, la secuencia que usted ha enumerado tiene un nombre conocido. (No ratón sobre si usted no quiere ver...)

Los Números Tetraédricos

Answer 4

Sólo para responder a la pregunta en realidad publicado en el título: Sí, es posible tener el número de secuencias que no tienen la forma cerrada o fórmula para generar en ellos, especialmente secuencias de enteros. La salida de una relación de recurrencia es un número de secuencia, y la general de la clase de relaciones de recurrencia es Turing-completo, por lo que habrá un número de secuencias que puede ser demostrado a continuar o interrumpir, en consecuencia, no pueden en general ser calculado, excepto por algunos recurrencia de la relación.