Este ejemplo muestra que la imagen de un espacio conexo bajo una función abierta o cerrada no necesita ser conexa.

Question

Bueno, esta es mi pregunta.

Es cada subgrupo del producto de dos cíclico de los grupos es de nuevo un producto de dos grupos cíclicos (tal vez un ser trivial)?

Gracias!

Answer 1

Sí. Supongamos primero que $a,b$ $C_a\oplus C_b$ están entre las principales potencias de la misma prime $p$. Entonces cualquier subgrupo $H$ es la suma directa de un número finito de cíclico $p$-grupos. Si hay $n$ sumandos, entonces no se $p^n-1$ elementos de orden $p$$H$. Como sólo hay $p^2-1$ elementos de orden $p$$G$, podemos ver que hay en la mayoría de los dos sumandos.

Ahora para el caso finito, podemos dividir cíclico grupos de compuestos de pedidos en sus principales componentes de alimentación, ver que hay (en la mayoría) de dos sumandos por prime en $H$, y combinar coprime sumandos de nuevo para finalmente obtener dos sumandos para $H$ sí.

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La anterior sólo funciona para el finitocaso. Para cubrir todos los casos, se deberá incluir, en el caso $G=\mathbb Z\oplus \mathbb Z$. Pero una vez que tenemos ese caso, nos pondremos el resultado también para el caso general: Si $G$ es abelean con dos generadores, es un cociente de $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$. Un subgrupo $H\le G$ se asigna a un subgrupo de $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ bajo la canónica de proyección, por lo tanto es 8as veremos en un momento) generado por dos elementos, por lo tanto $H$ sí es generado por dos elementos (obtenido a partir de preimages de los generadores en el cociente).

Deje $H\le\mathbb Z\oplus\mathbb Z$. Si $H=0$ hemos terminado. De lo contrario vamos a $(a,b)\in H$ ser cualquier elemento distinto de cero. Entonces $f\colon H\to\mathbb Z$, $(x,y)\mapsto ay-bx$ ha trivial kernel y algunos $k\mathbb Z$ $k\ge 0$ como imagen. Si $k=0$, el homomorphism $H\to\mathbb Z$, $(x,y)\mapsto ax+by$ es inyectiva (tenemos $ay-bx=0$$k=0$, por lo tanto $ax+by=0$ implica $(a^2+b^2)x=(a^2x+aby)+(b^2x-aby)=0$, por lo tanto $x=0$ y similarmente $y=0$); el $H$ es cíclico infinito o cero. Y si $k>0$, pick $(c,d)\in H$$f(c,d)=k$. Entonces $g\colon H\to\mathbb Z$, $(x,y)\mapsto (ax+by)-\frac{f(x,y)}k(ac+bd)$ es un homomoprhism con $\langle(c,d)\rangle$ como núcleo y una infinita cíclico subgrup de $\mathbb Z$ como imagen, que muestra que $H\cong \mathbb Z\oplus\mathbb Z$.

Answer 2

No. Por ejemplo, se puede comprobar en la BRECHA o Magma que SmallGroup(32,9) es un producto cíclico de los subgrupos de orden $4$$8$, pero tiene una escuela primaria abelian subgrupo de orden $8$ que no puede ser un producto de dos grupos cíclicos.

Answer 3

si $x$ es co-prime a su complejo de n-gon en el espacio real, entonces sí. Una prueba es trivial, si se examina la expansión de Taylor alrededor de $x=i$ y, a continuación, traducido a través de un determinado ángulo de epsilon.