Estás confundido, creo, acerca de la definición de una presentación de un grupo. Que es bastante justo, ya que la idea es un poco sutil.
Formalmente, la idea de una presentación es el siguiente: se definen algunos generadores como $i,j$ y, a continuación, considerar todas las expresiones en el grupo libre en los símbolos, que son cadenas como $iij^{-1}iji^{-1}jjij$ y así sucesivamente. A continuación, se imponen las normas que las relaciones, como $i^4=1$, dirá. Así por ejemplo, la $iiiijjij\equiv jjij$. También asumen $ii^{-1}=i^{-1}i=1$ y así sucesivamente.
Estás no se puede asumir que cualquier otras reglas para la manipulación de estas cosas se aplican. Entonces, te preguntas cómo el conjunto resultante de las cadenas de las obras en virtud de la concatenación. Este define de forma inequívoca la multiplicación del grupo.
Así, por ejemplo, $\left<i|i^n=1\right>$ es una presentación del grupo cíclico de orden $n$. El trivial de grupo, aunque se satisface sin contradicción de las relaciones, no está definido por esta presentación, porque no puede usar las relaciones dadas a deducir $i^1=1$.
Edit: Como usted dice, la idea es que el $i^2=1$ en el grupo definido por la anterior relación cíclica ($n>2$) tiene $\iff$ es posible deducir esto de la relación. La parte importante de la $\iff$ parte es la de los delanteros implicación, el contrapositivo de que "si no se demuestra, entonces, no es verdad". Unprovability es esencialmente lo que usted necesita para probarlo! Como era de esperar, que esto es difícil, de ahí la Novikov–Boone teorema.
La manera de lidiar con estos problemas es mostrar que estas relaciones $\iff$ (probar de las dos maneras) otro conjunto canónico hacer. A continuación, los grupos deben ser de la misma.
(Como se señaló en tu otra pregunta, se puede deducir unprovability explícitamente la construcción de un modelo que viola la declaración, aunque esto en general es difícil. Para problemas simples que se debe trabajar.)
