En su caso particular, no puedo decir mucho, pero aviso que esto se parece mucho a la identidad de Bezout para el máximo común divisor.
$$ \mathrm{gcd}(a,b) = 1 \longleftrightarrow \exists \; x,y \in \mathbb{Z} : ax + by =1$$
Se puede borrar denominadores:
$$ \frac{234}{24621} - x^{\frac{1}{3456}- \frac{1}{12345}} = \frac{1}{24621 \times x^{\frac{1}{12345}}}$$
Para simplificar las cosas, vamos a $y = x^{\frac{1}{12345}}$ y el aviso de que $\frac{12345}{3456} \approx 3.5$
$$ \frac{1}{105} = y^{2.5} + \frac{1}{24621 \times y}
$$
A continuación, obtenemos un superior y límite inferior de $y$:
$$ y < \bigg(\frac{1}{105}\bigg)^{\frac{1}{2.5}}< 0.16
\hspace{0.25, en}\text{y}\hspace{0.25}
y > \frac{105}{24621} = \frac{1}{234} > 0.004$$
Volviendo a la ecuación original:
$$ \bigg| \frac{1}{105} - y^{2.5}\bigg| = \frac{1}{24621 \times y} < \frac{1}{24621 \times \frac{1}{234}} = \frac{1}{105}$$
Puede ser muy difícil conseguir los mil millones de dígitos de $x$ de esta forma, pero tenemos mucho más para los que empezamos.
Este estilo de cálculo vagamente similar a Halley del método para resolver ecuaciones. Se declara que si queremos resolver los $f(x) = 0$
$$x_{n+1} = x_n - \frac{2f(x_n)f'(x_n)}{2[f'(x_n)^2 - f(x_n)f''(x_n)} $$
la incorporación de la idea de Newton método de fluxions... también podemos tratar de resolver sólo el uso de Newton-Raphson método:
$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
En el caso de que usemos nuestro trabajo para iniciar con el valor de $\boxed{y = \frac{1}{10}}$ (ya que he cambiado de variables)
y tratar de recorrer cualquiera de Newton o Halley procedimientos. Ver En la geometría de Halley del método
Uno de los originales de motivación ejemplos de Sir Edmund Halley, el método fue demostrar el ejemplo de Thomas Fautet de Lagny:
$$ a + \frac{ab}{3a^3 + b} < (a^3 + b)^{1/3} < \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b}{3a}} $$
Mientras $b \ll a^3$. Esto nos dice que, por ejemplo,$3 + \frac{3}{82} < \sqrt[3]{28} < \frac{3}{2} + \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{1}{9}}$, lo que es decente.
