¿Por qué hace siempre tener n números para caracterizar un punto en el espacio n-dimensional (o hace)?

Question

No sé si esto es obvio y una pregunta tonta o no, pero, aquí vamos. Para caracterizar a un punto en 2-d de espacio que puede utilizar el estándar de $x,y$ coordenadas o podemos usar coordenadas polares. Probablemente hay otras maneras de hacerlo distinto a los dos así. Es muy interesante para mí que aquellos que de alguna manera requieren exactamente dos números-un $x$ $y$ o $r$$\theta$. Parece una mágica coincidencia para mí, que estas dos formas completamente diferentes para describir un punto de requerir la misma cantidad de números.

A continuación, se mueve en el espacio 3-d, no es la misma cosa. Podemos usar $(x,y,z)$ o $(\rho,\phi ,z)$ (coordenadas cilíndricas) o $(r,\theta ,\phi)$ (coordenadas esféricas). Estos sistemas de coordenadas parecen funcionar de manera muy diferente, y sin embargo todos ellos tienen tres números. Es una conspiración.

Así que quiero decir, por un lado, es intuitiva que debe tomar tres números para describir el espacio tridimensional. Por otro lado, no puedo entender por qué esto debe ser así. Así que la pregunta a) ¿por qué es este el caso y la pregunta b) ¿se puede imaginar un mundo donde no existían puntos en n dimensiones y dos sistemas de coordenadas que se llevó a diferentes números de números para caracterizar los puntos?

P. S. yo no sé realmente qué etiqueta como este.

Answer 1

Así, en una tonta manera, sólo se necesita un número para caracterizar a un punto en $n$espacio tridimensional. Será más fácil para mí para explicar cómo hacer esto con un $n$-dimensiones de la caja de $[0, 1]^n$. Si escribimos $n$ números de $(x_1, ... x_n)$ describiendo un punto en este cuadro con sus expansiones decimales, por ejemplo, $n = 5$ y $$x_1 = 0.12345...$$ $$x_2 = 0.33333...$$ $$x_3 = 0.52525...$$ $$x_4 = 0.31415...$$ $$x_5 = 0.27182...$$

entonces puedo escribir un único número que describe todos ellos por la imbricación de sus dígitos: $$y = 0.1353223217335414321853552...$$

(Estrictamente hablando, esto es una pequeña mentira, porque no he describe qué hacer con los números como $0.1 = 0.0999...$ que tiene dos expansiones decimales, pero este resulta ser fácilmente corregible así que me voy a pasar por alto.)

Sin embargo, esto no es una útil manera de describir los puntos en $n$-dimensiones del espacio; pequeños cambios en la $y$ puede ocasionar grandes cambios en el $x_i$ y es una molestia enorme para tener que lidiar con esto. Más precisamente, el mapa de arriba falla bastante mal para ser continua, y, en particular, no es diferenciable, por lo que no podemos utilizar el cálculo de una manera compatible con este mapa (por ejemplo, no podemos comparar las integrales en los dos sistemas de coordenadas utilizando el multivariante de cambio de las variables de la fórmula).

Si queremos un diferenciable mapa que nos permite ir y venir entre dos sistemas de coordenadas, los sistemas de coordenadas de ser necesario se puede describir utilizando el mismo número de cifras. Esto se deduce del hecho de que sus derivados (Jacobina de matrices) necesita hacer la misma cosa a la tangente espacios. Para realmente entender esto, primero, tomar un curso de álgebra lineal, luego de un curso de cálculo multivariable. (No entiendo por qué estos son usualmente se enseña en el otro orden.)

Si sólo queremos un mapa continuo en ambas direcciones, no es en absoluto evidente que todavía necesita $n$ números para describir $n$-dimensiones del espacio, pero esto resulta ser cierto por dificultades en el llamado teorema de la invariancia del dominio.

Answer 2

La explicación intuitiva: grados de libertad.

Suponga que tiene 3 dimensiones del espacio, usted puede ir de 3 metros a la izquierda, 2 metros hacia adelante y a 5 metros (si usted tiene un jetpack ;-) ). Se puede ver que estos números son independientes, puede cambiar cada uno de ellos libremente sin afectar a los demás. En la física nos dicen que en el espacio 3-dimensional tiene 3 grados de libertad. El número de grados de libertad es un invariante del espacio descrito.

En el espacio n-dimensional supongo que probablemente significa que a $\mathbb{R}^n$. Tiene el estándar de base $\{ e_1 , ... , e_n \}$ que es la algebraicas lineales equivalentes de coordenadas cartesianas. Se puede demostrar que el número de la base de los elementos es un invariante del espacio vectorial, y esta invariante número es llamado la "dimensión" del espacio.

Cálculo vectorial expande la noción de no-rectlinear sistemas de coordenadas.

En geometría diferencial, cuando uno habla de colectores de dimensión $n$ quieren decir que ellos localmente mirada le gusta $\mathbb{R}^n$ y ya podemos rellenar los sistemas de coordenadas, cada uno ha $n$ números, se sigue que el colector es descrito por $n$ parámetros.