¿Cuántos números naturales $x\leqslant 21 !$ son tales que $\gcd(x,20!)=1$

Question

¿Cuántos números naturales $x\leqslant 21 !$ son tales que $\gcd(x,20!)=1$

Intento:

Utilicé este método y lo he encontrado:

$21!$$=2^{18}\times3^{9}\times5^{4}\times7^{3}\times11\times13\times17\times19$

$20!$$=2^{18}\times3^{\color{red}8}\times5^{4}\times7^{\color{red}2}\times11\times13\times17\times19$

Es fácil ver que la factorización primaria contiene los mismos números primos, pero ¿cómo puedo saber cuántos números $x\leqslant 21 !$ son tales que $\gcd(x,20!)=1$

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Si miro $3$ y $3^2$ , por lo que hay $4$ números entre $3$ y $9$ tal que $\gcd(3,x)=1$ $3,\color{blue}4,\color{blue}5,6,\color{blue}7,\color{blue}8,9$

Answer 1

Se puede observar fácilmente que para un número natural $n$ , gcd $(n,20!)=1$ si y sólo si gcd $(n,21!)=1$ . Por lo tanto, se puede plantear la pregunta de la siguiente manera :

¿Cuántos números naturales $x\leq 21!$ tal que gcd( $x,21!)=1$ . Entonces la respuesta es $\varphi(21!)$ que es fácil de calcular.