Límite de $\frac{f(x)}{x}$ cuando $f'(x)$ tiende a infinito

Question

Mientras que la solución de un problema, he encontrado la siguiente declaración

Si $f:[0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ $f$ es diferenciable en a$(0,+\infty)$, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)=+\infty$ if and only if $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$

No sé si esta afirmación es verdadera o no, pero he encontrado una solución para ello. Aquí está mi solución:

$\bullet$ Si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)=+\infty$ then there exists an $X$ such that for all $x>X:f'(x)>1$. By Lagrange theorem, for every $x>X$ there is $C_x\en(X,x)$ such that $$f(x)-f(X)=(x-X)f'(C_x)>x-X$$ Por lo tanto $f(x)$ tiende a infinito cuando $x$ tiende a infinito. Por la Regla de L'Hospital: $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)=+\infty$$ $\bullet$ Si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$ then it's easy to prove $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$. By L'Hopital Rule, we get $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)=+\infty$

A partir de la anterior prueba, también podemos concluir que, si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)=+\infty$ and by Lagrange theorem, for every $x>0$ there exists $c_x\en (0,x)$ such that $$f(x)-f(0)=xf'(c_x)$$ entonces el conjunto de todas las $c_x$ ( $x>0$ ) no tiene un límite superior.

Hay algo malo con mi declaración y la prueba? Muchas gracias.

Answer 1

Usted está aplicando la regla de l'Hôpital incorrectamente. Más bien, la conclusión debe ser que si $f'(x)\to\infty$, entonces, de hecho,$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=+\infty$. Estamos utilizando aquí la forma de la regla de l'Hôpital (como se presenta, por ejemplo, en Rudin el libro, ver Teorema 5.13), que afirma que si $a$ es en la ampliación de reales, $\lim_{x\to a}g'(x)/h'(x)=L$ existe (en el extendido de reales), y $\lim_{x\to a}h(x)=+\infty$,$\lim_{x\to a}g(x)/h(x)=L$. Tenga en cuenta que no es necesario asumir que $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$.

Por otro lado, si $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\infty$, no podemos concluir que el $\lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty$. Por la regla de l'Hôpital, si $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ existe, entonces debe ser $\infty$. Pero el límite no existe. Por ejemplo, podríamos tener $f$ creciendo de manera exponencial, excepto que es constante en pequeños intervalos alrededor de cada número entero. Para cualquier $f$ tenemos $\lim_{x\to\infty}f(x)/x=+\infty$; sin embargo $\limsup_{x\to\infty}f'(x)=+\infty$ pero $\liminf_{x\to\infty}f'(x)\le0$, por lo que el límite no existe.