Clausura topológica del ideal en $A[[T]]$ - Proposición 1.3.7 en Liu

Question

En la Proposición 1.3.7 de Liu, el libro demuestra que si un anillo de $A$ es noetherian lo es $A[[T]]$. Tomamos un ideal $I$ $A[[T]]$ y demostrar que no existe $F_1,\ldots,F_m\in I$ tal que para todo $P\in I$, $n\in \mathbb{N}$ existen $G_1,\ldots,G_n\in(F_1,\ldots,F_m)$ $P-\sum_1^n G_i\in\mathfrak{m}^n$ ( $\mathfrak{m}=TA[[T]]$ , lo $(\mathfrak{m}^n)_n$ es el estándar de filtración de $A[[T]]$).

Para los habituales de la topología en $A[[T]]$ I ver que $\sum_1^nG_i$ converge a $P$, pero en la prueba que necesito ese $\sum_1^\infty G_i$ se queda en $(F_1,\ldots,F_m)$ y que no veo por qué no.

Veo que este es un cierre de propiedad del ideal de la $J=(F_1,\ldots,F_m)$, pero esto no me ayuda.

Veo que podemos descomponer la suma de $\sum_1^nG_i=(A_1^1+\ldots+A_n^1)F_1+\ldots+(A_1^m+\ldots+A_n^m)F_m$ pero no veo por qué no todas las sumas $A_1^i+\ldots+A_n^i$ deberían converger.

Answer 1

Liu precisa que $G_i$ se encuentra en $T^i(F_1,\dots,F_m)$, no sólo en $(F_1,\dots,F_m)$ (de hecho $T^{i-d}(F_1,\dots,F_m)$ en su notación), por lo tanto puede escribir $$G_1 + G_2 +G_3 + \dots = (A_1^1 T+ A_1^2T^2 + A_1^3T^3 + \dots )F_1 + \dots, que converge en $(F_1,\dots,F_m)$.