¿Cuándo una demostración **requiere** el uso de un teorema específico?

Question

Como dice el título, busco alguna explicación de cuándo un resultado depende intrínsecamente de un teorema concreto. Otra formulación de la pregunta podría ser

Dadas dos pruebas arbitrarias, $X_1$ et $X_2$ de un teorema, cuyos hechos deben surgir siempre en ambos $X_1$ et $X_2$ ?

En concreto, estoy buscando no trivial hechos. Evidentemente, se necesitan enunciados como axiomas y pequeñas formulaciones basadas en los axiomas, pero esto no interesa.

Un ejemplo sería utilizar el lema de Bezout para demostrar que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ es un grupo (en concreto, demostrando que los inversos existen).

Answer 1

No está muy claro qué significaría siquiera preguntar cuándo puedes, en el curso de la demostración de un enunciado verdadero, evitar el uso de un teorema verdadero, ya que obviamente no tiene sentido preguntar "¿y si el teorema fuera falso?" Puedes tratar de evitar citar el teorema, pero tal vez en el curso de la demostración acabes reproduciéndolo en secreto de todos modos; es difícil establecer una distinción de principios en este caso.

Sin embargo, se puede evitar esto tratando de encontrar una generalización natural del enunciado verdadero en la que el teorema verdadero que estás aplicando se convierte en un hipótesis y preguntar qué pasa si la hipótesis es falsa. Por ejemplo: típicamente la forma en que probamos la factorización única para $\mathbb{Z}$ está utilizando el algoritmo euclidiano. Quizá quieras saber si esto es necesario. No está claro qué significaría hacer esta pregunta a $\mathbb{Z}$ pero se puede generalizar haciendo esta pregunta a otros anillos, lo que lleva a la siguiente pregunta:

¿Es cada dominio de factorización único (UFD) a Dominio euclidiano (ED)?

La respuesta, muy interesante, es no. Por ejemplo, se puede demostrar que el anillo polinómico $k[x, y]$ en dos variables sobre un campo es un UFD, pero no puede ser un ED porque no es un PID . Un ejemplo más interesante es que el anillo de enteros $\mathbb{Z} \left[ \frac{1 + \sqrt{-19} }{2} \right]$ es un UFD, incluso un PID, pero sigue sin ser un ED; véase por ejemplo esta pregunta de math.SE .

Incluso podemos avanzar en la pregunta correspondiente sobre $\mathbb{Z}$ es un hecho general que todo PID es un UFD, así que si puedes demostrar que $\mathbb{Z}$ es un PID sin usar el algoritmo euclidiano, tal vez demostrando algún hecho más general sobre una clase más grande de anillos que incluya los no-ED, entonces se puede empezar a afirmar que se ha evitado el algoritmo euclidiano. Podría ser posible hacerlo utilizando alguna técnica más general para calcular los números de clase de los anillos numéricos, aunque hay que tener cuidado de evitar la circularidad en este caso en caso de que alguno de esos resultados se base en la suposición de que $\mathbb{Z}$ es un UFD ya...

Answer 2

De hecho, ¡hay matemáticas que estudian esto! Los dos enfoques principales se llaman Matemáticas Inversas y Matemáticas Computables. Citando la introducción del artículo Rebanando la verdad

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Pero supongamos que nos tomamos en serio la tarea de demostrar que, por ejemplo, el Teorema de los Cuatro Colores implica que hay infinitos primos. ¿Cuáles son posibilidades de que cualquiera de nosotros pueda presentar una prueba que "utilice realmente" el teorema de los cuatro colores? El ejercicio puede parecer tan inútil como difícil, pero pero, por supuesto, los matemáticos establecen y realizan tareas de este tipo con regularidad regularmente. "Utilice el Teorema de Bolzano-Weierstrass para demostrar que si f : [0, 1] R es continua, entonces f es uniformemente continua" es un típico problema de tarea en análisis, y la pregunta "¿Puede la versión teórica de la información de Chaitin de teórica de la información de Chaitin del Primer Teorema de Incompletitud de Godel para demostrar el Segundo Teorema de Incompletitud de Godel? de Godel?" ha dado lugar a un precioso artículo reciente de Kritchman y Raz

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En este artículo, discutiremos dos enfoques estrechamente relacionados para hacer matemáticamente de esta idea de establecer implicaciones y no implicaciones entre principios entre principios demostrables: la matemática computable y la matemática inversa matemática inversa.

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A grandes rasgos, la matemática inversa elige una base axiomática convenientemente pequeña sobre la que trabajar, añade un teorema notable y, a continuación, ve lo que debe ser cierto para llegar a ese teorema a partir de esos axiomas. Las matemáticas computables estudian campos análogos a los de las matemáticas regulares, pero consideran objetos "computables" -objetos que pueden ser convenientemente reconocidos por una máquina de Turing- y estudian la teoría a la que dan lugar, así como lo lejos que está la teoría normal de ser computable.