¿Cómo encontrar el número de conjuntos de números positivos $\{a,b,c\}$ tal que $(a)(b)(c) =2^{4}3^{5}5^{2}7^{3}$?

Question

¿Cómo encontrar el número de conjuntos de números positivos $\{a,b,c\}$ tal que $(a)(b)(c) =2^{4}3^{5}5^{2}7^{3}$?

$$\binom{4+2}{2} \binom{5+2}{2} \binom{2+2}{2} \binom{3+2}{2}$$

Esto le daría el número de tuplas $(a,b,c)$. Pero aislar lo conjuntos individuales $\{a,b,c\}$ es más difícil como duplicados. ¿Alguna idea como hacerlo?

Answer 1

Deje $S = \{(a,b,c) \colon abc = 2^4 3^5 5^2 7^3\}$. Vamos a dividirlo en varios conjuntos más pequeños. $S_1 = \{(a,b,c) \in S \colon a \neq b;\, b \neq c;\, a \neq c\}$, $S_2 = \{(a,b,c) \in S \colon a=b;\, b \neq c\}$ y deje $S_3, S_4$ ser similar a $S_2$ sólo con pares iguales,$a=c$$b=c$. Es fácil notar que $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup S_4$, debido a que el caso de $a=b=c$ es imposible para nuestra condición. También se $|S_2| = |S_3| = |S_4|$.

La respuesta para el problema es ${|S_1| \over 6}$, debido a que cada posible conjunto de tres elementos contribuye a $S_1$ seis veces. Sabemos $|S|$ por lo tanto, todos tenemos que hacer es encontrar a $|S_2|$. Es muy fácil, vamos a considerar algunos de los elementos de $S_2$. $(a,a,b) = (2^{a_1} 3^{a_2} 5^{a_3} 7^{a_4}, a, 2^{b_1} 3^{b_2} 5^{b_3} 7^{b_4})$ y desde nuestra condición de $$\left\{ \begin{array}{l} 2a_1 + b_1 = 4\\ 2a_2 + b_2 = 5 \\ 2a_3 + b_3 = 2\\ 2a_4 + b_4 = 3 \end{array} \right.$$ Cada condición es independiente de los otros y hay $3$ posibilidades para satisfacer la primera condición, $3$ para el segundo, $2$ para el tercero y $2$ para el cuarto. Así $|S_2| = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$. $|S_1| = |S| - 3 |S_2|$. Hemos terminado.

Answer 2

Como un control de la respuesta, podemos encontrar explícitamente los conjuntos con un programa corto. Por ejemplo, en Python:

factors = sorted([2**i * 3**j * 5**k * 7**l for i in range(5) for j in range(6) for k in range(3) for l in range(4)], reverse = True)
sols = [[a, b, c] for a in factors for b in factors for c in factors if a*b*c == 2**4 * 3**5 * 5**2 * 7**3 and a > b and b > c]
len(sols)

que salidas 3132 . Esto coincide con la respuesta de Artur Ryazanov. (Por supuesto no es el algoritmo más eficiente para generar la lista de soluciones: sólo he encontrado todos los factores del número y comprobar todas 3-tuplas).

Answer 3

Barras y de estrellas es de hecho el enfoque válido para las tuplas.

Si usted necesita los conjuntos, puede Deduplique ordenando los conjuntos (dividir por $6$).

Tendrías que modificar la respuesta de $\{ a_1, a_2, a_3 \}$ donde $a_1 = a_2$ o $a_2 = a_3$. Que no pueden ser ciertos.

Sólo necesitará determinar $a_2$, que es el % de forma $2^{0,1,2}3^{0,1,2}5^{0,1}7^{0,1}$, ya que entonces se pueden calcular los otros dos términos.