¿Por qué el sistema de números racionales es inadecuado para el análisis?

Question

En el primer capítulo de Principios de Análisis Matemático, el autor señaló lo siguiente:

El sistema de números racionales es inadecuado para muchos propósitos, tanto como campo como conjunto ordenado. Por ejemplo, no hay un número racional $p$ tal que $p^{2}=2$...

Sin embargo, considerando el hecho de que el número racional es en efecto un campo, me resulta poco claro desde qué perspectiva es inadecuado para una discusión satisfactoria del análisis.

Answer 1

El problema de trabajar solo con los racionales es que no son completos. Esto significa que hay sucesiones de Cauchy en $\mathbb{Q}$ que no convergen o, equivalente, que dado un conjunto acotado, el $\sup$ o $\inf$ de ese conjunto no necesariamente se encuentran en $\mathbb{Q}$.

Esto significa que muchos resultados clave en análisis real no son ciertos al trabajar sobre $\mathbb{Q}$ en lugar de $\mathbb{R}$. Por ejemplo, funciones que son continuas en $\mathbb{Q}$ no necesariamente tienen la propiedad del valor intermedio. Considera $$f(x) = \begin{cases} -1, & x^2 < 2 \\ 1, & x^2 > 2 \end{cases}$$ Dado que no hay un racional tal que $x^2 = 2$ podemos probar que esta función es continua en $\mathbb{Q}$ pero no hay un $y$ tal que $f(y) = 0. El problema radica en que las demostraciones del teorema del valor intermedio típicamente generan una sucesión de Cauchy usando intervalos anidados y afirman que converge o miran algo como $\sup\{x: f(x)<0\}$. Sin embargo, ambas afirmaciones utilizan la completitud de los números reales y por lo tanto no se mantienen sobre los racionales. Otros resultados fallan de formas similares (o porque dependen del TVI).

Answer 2

Muchos teoremas importantes del cálculo fallan si consideras $\Bbb Q$ en lugar de $\Bbb R$. Para mencionar algunos ejemplos:

Teorema del valor intermedio: La función $f(x)=x^2$ es continua y $f(1)=1, f(2)=4$ pero para ningún número racional $p$ tenemos $f(p)=2$ (este es prácticamente el ejemplo mencionado)

---

Teorema de Bolzano-Weierstrass: Si tomas cualquier secuencia de números racionales que converja en $\Bbb R$ a un número irracional (por ejemplo, $3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...$) entonces esta es una secuencia acotada sin ninguna subsucesión convergente a un número racional.

---

Completitud de Cauchy, Teorema de convergencia monotona: El ejemplo anterior también muestra que una secuencia de Cauchy no necesariamente tiene un límite, y lo mismo ocurre con las secuencias monótonas.

---

Teorema del valor extremo: La función $f(x)=x-x^3$ es claramente continua en el intervalo $[0,1]$, pero no alcanza un máximo en este intervalo; de hecho, a medida que nos acercamos a $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (que no está en $\Bbb Q$) obtenemos valores cada vez más cercanos al supremo $\frac{2}{3\sqrt{3}}$ pero nunca lo alcanzamos.

---

Teorema de acotamiento: La función $f(x)=\frac{1}{x^2-2}$ está definida y es continua para cada número racional, pero no está acotada en el intervalo cerrado $[1,2]$.

---

Teorema del valor medio: La derivada de la función $f(x)=x-x^3$ nunca es cero para $x$ racional, por lo que es imposible encontrar un racional $\xi$ tal que $f(1)-f(0)=f'(\xi)(1-0)$.

Answer 3

Considere la secuencia $$ x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n+\dfrac{2}{x_n}\right) $$

Cuando $x_0$ es racional, todos los $x_n$ son racionales.

La secuencia es una sucesión de Cauchy pero no converge en los racionales porque el límite es $\sqrt 2$ cuando $x_0>0$.

Para más discusión sobre cómo los racionales fallan en ser adecuados para el análisis, consulte Un Compañero del Análisis por Körner. El Capítulo 1 está disponible de forma gratuita y contiene parte de esa discusión.

Answer 4

¿Por qué el sistema de números racionales es inadecuado para el análisis?

Mira la imagen a continuación que muestra el gráfico de una "función continua" (intuitivamente, una función cuyo gráfico es un todo ininterrumpido, sin interrupciones).

Propiedad Fundamental (PF): Los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ están conectados por una "curva continua". Dado que el punto $(a,f(a))$ está por encima del eje $x$ y el punto $(b,f(b))$ está por debajo del eje $x$, hay un punto $(c,0)$ donde la curva cruza el eje $x$.

¿Es cierta la Propiedad Fundamental? Bueno, al menos debería ser cierta. Según Michael Spivak:

Si las imágenes que dibujamos tienen alguna conexión con las matemáticas que hacemos, si nuestra noción de función continua corresponde en algún grado con nuestra noción intuitiva, la Propiedad Fundamental tiene que ser verdadera en nuestra teoría. (Libro de Spivak).

Hecho Desafortunado: El número racional es de hecho un campo (ordenado), pero las propiedades de un campo ordenado son insuficientes para probar la Propiedad Fundamental. Es más, podemos demostrar que la Propiedad Fundamental no es válida en el contexto de $\mathbb Q$.

Conclusión: La Propiedad Fundamental es un resultado que queremos que sea verdadero porque nuestra intuición de continuidad dice que debería serlo. Al construir nuestra teoría de continuidad sobre la base de los números racionales, la Propiedad Fundamental falla. Entonces, el sistema de números racionales no es adecuado para el análisis.

Por supuesto, podemos definir los conceptos fundamentales de Análisis (límites, continuidad, derivabilidad, integrabilidad) en el contexto de $\mathbb Q$ y demostrar algunas cosas. Pero hay muchos resultados que dependen de la Propiedad Fundamental. Si la abandonamos, no podemos avanzar; el desarrollo de la teoría se detiene.

---

---

La discusión anterior se refiere al contexto de la continuidad. Sin embargo, argumentos similares se aplican a otras cuestiones de análisis. Aquí tienes una ilustración en el contexto de la integración:

El desarrollo de la Integración se basa en (alguna variante de) la siguiente idea:

El área de una región circular puede aproximarse por un polígono inscrito de $n$ lados.

Sea $A_n$ el área del polígono inscrito de $n$ lados. A medida que $n$ aumenta, $A_n$ se acerca más y más al área del círculo. (Larson, Stewart)

Si queremos formalizar esta idea, necesitamos asegurarnos de que exista un número (al que llamaremos "área del círculo") que se esté aproximando. Entonces, necesitamos de la

Segunda Propiedad Fundamental (SPF): toda secuencia creciente acotada tiende a un límite.

Hecho Desafortunado: la Segunda Propiedad Fundamental no es válida en el contexto de $\mathbb Q$.

Conclusión: Al construir nuestra teoría de integración en $\mathbb Q$, muchas regiones "bien comportadas" no tendrían un área bien definida. Este hecho no sería satisfactorio. Entonces, $\mathbb{Q}$ es inadecuado para una discusión satisfactoria de análisis.

---

---

Observación: La PF y la SPF son equivalentes y caracterizan la completitud de $\mathbb{R}$. Como se vio anteriormente, es la ausencia de esta característica lo que hace que $\mathbb Q$ sea inapropiado para el análisis. La PF se conoce como el Teorema del Valor Intermedio y la SPF se conoce como el Teorema de Convergencia Monótona.

Observación 2: En resumen, mi punto es el siguiente: El propósito del Análisis (real elemental) es hacer riguroso el Cálculo. El Cálculo se desarrolló sobre la base de la intuición geométrica. En un mundo donde solo hay números racionales, algunas de estas intuiciones fallan (como se mostró arriba). Entonces, en tal mundo, estas intuiciones no podrían ser rigurosas, sino que tendrían que ser abandonadas. Esta es la razón por la cual $\mathbb{Q}$ no es apropiado para hacer Análisis.