$\Bbb{Q}$ no es una entidad finitamente generada $\Bbb{Z}$ -Módulo

Question

Estoy tratando de mostrar que $\Bbb{Q}$ no es una entidad finitamente generada $\Bbb{Z}$ -módulo.

Supongamos por el contrario que $$\Bbb{Q}=\Bbb{Z}\dfrac{a_1}{b_1}+...+\Bbb{Z}\dfrac{a_n}{b_n}$$ donde $a_i,b_i\in\Bbb{Z}$ . Sea lcm $(b_1,...,b_n)=c$ y $d_i=\dfrac{c}{b_i}$ . Entonces $$\Bbb{Q}=\dfrac{d_1a_1}{c}\Bbb{Z}+...+\dfrac{d_na_n}{c}\Bbb{Z}$$ Ahora dejemos que $p$ sea un primo que no divide $c$ . Entonces, hay $x_1,...,x_n\in\Bbb{Z}$ tal que $$\dfrac{1}{p}=\dfrac{d_1a_1x_1+...+d_na_nx_n}{c}$$ y por lo tanto $p(d_1a_1x_1+...+d_na_nx_n)=c$ lo que significa que $p$ divide $c$ contradicción.

Eso fue sospechosamente fácil. ¿Qué me falta?

Answer 1

De hecho, es así de fácil. Puede hacerlo aún más sencillo si observa que puede concluir $\mathbb Q \subseteq \langle \frac{1}{c} \rangle$ de su suposición. Ya que $\frac{1}{2c}\in\mathbb Q$ tenemos $\frac{1}{2c}=\frac{k}{c}$ para algunos $k\in\mathbb Z$ pero no hay $k\in\mathbb Z$ tal que $2k=1$ .

Answer 2

Todo es correcto.

La única sugerencia que tengo es que una vez que argumentas que tus generadores pueden tener un denominador común también podrías llamarlos $\frac{e_i}{c}$ en lugar de $\frac{d_ia_i}{c}$ . Sólo hace que las ecuaciones parezcan más sencillas. De hecho, incluso se podría argumentar que $\frac{1}{c}$ genera todos sus generadores por lo que basta con demostrar que $\mathbb Z[\frac{1}{c}] \neq \mathbb Q$ . La parte final de tu argumento será la misma pero sólo tendrás un generador en tus ecuaciones.