¿Hay una manera natural para multiplicar las medidas?

Question

Dadas dos medidas de $\mu$ $\nu$ en algunas de espacio medible $X$, hay una manera de multiplicar para obtener $\mu \cdot \nu$, otra medida en $X$ (y no $X \times X$, como por la noción usual de producto medida)?

He aquí un caso donde sé cómo dar una definición: si $\mu$ $\nu$ son absolutamente continua con respecto a algunas de medida común $\lambda$, entonces podemos tomar sus Radon–Nikodym derivados con respecto a la medida para la obtención de dos funciones de $f_\mu$$f_\nu$, por lo que $\mu = \int f_\mu d\lambda$, $\nu = \int f_\nu d\lambda$ a la que nos podemos multiplicar, para darnos $\mu \cdot \nu = \int (f_\mu \cdot f_\nu) d\lambda$.

Esto ocurrió en el contexto de Monte–Carlo de integración, y en particular de Monte–Carlo de trazado. En este caso, la medida del espacio podría ser, es decir, el conjunto de los ángulos en los que una entrada de un rayo de luz rebota en un objeto podría ser reflejada, $\mu$ sería una medida de probabilidad que describe la probabilidad de salida de los ángulos, y $\nu$ sería una medida que describe las fuentes de luz en la escena visible desde ese punto de reflexión. La idea de la multiplicación $\mu \cdot \nu$ es para producir algo que describe el muestreo de las fuentes de luz en ese punto, dependiendo de la entrantes ray (y $\mu$, en la parte superior de just $\nu$).

Answer 1

El caso que usted describe es el caso general, ya que todas las medidas de $\mu$ $\nu$ son absolutamente continua con respecto a $\mu+\nu$. Más precisamente, no existe $h_{\mu,\nu}$ $0\leqslant h_{\mu,\nu}\leqslant1$ todas partes tales que $\mu=h_{\mu,\nu}(\mu+\nu)$$\nu=(1-h_{\mu,\nu})(\mu+\nu)$. Así se puede definir el valor intrínseco del producto $\mu\odot\nu$ por $$ \mu\odot\nu=h_{\mu\nu}(1-h_{\mu\nu})(\mu+\nu). $$ Al $\mu$ $\nu$ son absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue (o cualquier otra medida de referencia) con densidades $f$$g$, respectivamente, a continuación, $\mu\odot\nu$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue con la densidad de $f\odot g$ define de la siguiente manera: en $[f+g=0]$, $f\odot g=0$, y, en $[f+g\ne0]$, $$ f\odot g=\frac{fg}{f+g}. $$ Este producto $\odot$ sobre las medidas es conmutativa (bueno), asociativa bueno (?), la masa total de $\mu\odot\nu$ es en la mayoría de las $\frac14$ veces la suma de las masas de $\mu$$\nu$, en particular el producto de dos medidas de probabilidad no es una medida de probabilidad (?), $\mu\odot\mu=\frac12\mu$ por cada $\mu$, y, finalmente, $\mu\odot\nu=0$ si y sólo $\mu$ $\nu$ son mutuamente singular bueno (?) desde $\mu\odot\nu$ es siempre absolutamente continua con respecto a la $\mu$$\nu$.

Edición De normalizar las cosas, otra idea es considerar $\mu\Diamond\nu=2(\mu\odot\nu)$. En términos de densidades, esto corresponde a una media armónica, ya que $\mu\Diamond\nu$ tiene una densidad de $f\Diamond g$, donde $$ \frac1{f\Diamante g}=\frac1{2(f\odot g)}=\frac12\left(\frac1f+\frac1g\right). $$ En particular, esta nueva intrínseca del producto $\Diamond$ es idempotente (buena?), conmutativa (bueno), y no asociativa (?).

Edición canónica de las preocupaciones del producto de la probabilidad de medidas y de transición de los núcleos. Es decir, se da una medida de espacio $(X,\mathcal X,\mu)$, un espacio medible $(Y,\mathcal Y)$ y una función de $\pi:X\times\mathcal Y\to[0,1]$ tal que, para cada $x$ en $X$, $\pi(x,\ )$ es una medida de probabilidad en $(Y,\mathcal Y)$. Entonces, bajo ciertas condiciones de regularidad, el producto $\mu\times\pi$ es la única medida en $(X\times Y,\mathcal X\otimes\mathcal Y)$ tal que, para cada $A$$\mathcal X$$B$$\mathcal Y$, $$ (\mu\times \pi)(A\times B)=\int_A\mu(\mathrm dx)\pi(x,B). $$ En particular, $B\mapsto(\mu\times\pi)(X\times B)$ es una medida de probabilidad en $(Y,\mathcal Y)$.

Al $\mu$ tiene una densidad de $f$ con respecto a una medida $\xi$ y cada una de las $\pi(x,\ )$ tiene una densidad de $g(x,\ )$ con respecto a una medida $\eta$, $\mu\times\pi$ tiene una densidad de $(x,y)\mapsto f(x)g(x,y)$ con respecto al producto de la medida $\xi\otimes\eta$.

Answer 2

No, si te refieres a multiplicar en el primer sentido. Dadas dos medidas de $u$ $v$ en algunas de espacio medible $X$, definir el "producto" $w = u \cdot v$ $w(E) = u(E) \cdot v(E)$ todos los $E \in X$. Nos gustaría ver si $w$ es una medida o encontrar un contraejemplo.

Considerar el intervalo de $E = (0,2)$$X = \mathbb R$, y deje $u$ ser la longitud estándar de la medida y de $v$ ser la medida del área bajo la función de $f = |x|$. Supongamos $w$ es el "producto" de la $u$ y $v$, $w = u \cdot v$, como se indicó anteriormente.

A continuación, $$w((0,2)) = u((0,2))\cdot v((0,2)) = 2\cdot 2 = 4$$ Me puede dividir el intervalo de $(0,2)$, y una medida sigue siendo la misma, pero: $$w((0,2)) = w((0,1]\cup (1,2)) = w((0,1]) + w((1,2)) = u((0,1])\cdot v((0,1]) +u((1,2))\cdot v((1,2)) = 1\cdot \frac 1 2 + 1 \cdot \frac 3 2 = 2 \not= 4$$

Por lo $w$ no es una medida. Por supuesto, usted probablemente lo sabía.