¿Por qué este enfoque no funciona para$\int \sec^4 x\,dx$?

Question

He estado tratando de integrar a $\sec^4$ , sin demasiada suerte. Pero yo no terminaba de entender por qué mi resultado no es válido y algun comentario, si es posible.

Yo estoy atacando el problema de la siguiente manera

$$ \int (\s^2{x})^2dx = \int (\tan^2+1)^2dx $$

entonces, me puse a$u=\tan^2+1$, lo que significa $x = \arctan(\sqrt{u-1})$, lo que me permite hacer la siguiente sustitución hacia atrás

$$ \int (\s^2{x})^2dx = \int (\tan^2+1)^2dx = \int u^2 \frac{1}{2u\sqrt{u-1}} dx = \frac{1}{2}\int u (u-1)^{\frac{-1}{2}} dx $$

Ahora usando integración por partes puedo conseguir

$$\begin{align*} \int u (u-1)^{\frac{-1}{2}} dx &= \frac{1}{2}(2u(u-1)^{\frac{1}{2}} - \int 2(u-1)^{\frac{1}{2}})\\\\ &= \frac{1}{2}(2u(u-1)^{\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}(u-1)^{3/2}) \\\\ &= \frac{1}{2}(2(\tan^2{x}+1)(\tan^2{x})^{\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}(\tan^2{x})^{3/2}) \end{align*}$$

Esto, sin embargo, parece ser incorrecto. ¿Cómo ven?

Answer 1

Su resultado es casi válido.

Tomando un enfoque diferente, usando Integración por Partes desde el inicio:

Tenga en cuenta que $\sec^2x = \frac{d}{dx} (\tan x)$.

Podemos utilizar la integración por partes:

$u = \sec^2 x \implies\,du = 2\sec^2 x \tan x\,dx$

$dv = \sec^2 x \,dx\implies \, v = \tan x$.

$$\int \sec^4 x \,dx = \sec^2x\tan x - 2\int \tan^2 x \sec^2 x$$

Ahora, el resto de la integral se puede resolver por sustitución: $w = \tan x,\;\implies dw = \sec^2 x$: $$2\int \tan^2 x \sec^2 x \,dx = 2\int w^2 \,dw = \dfrac 23 w + c$$

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Poner los anteriores juntos nos da:

$$\int \sec^4 x \,dx = \sec^2x\tan x - \frac 23 \tan^3 x + C$$

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Nota: la respuesta es muy, muy de cerca, y se puede manipular algebraicamente para asemejarse a la de arriba:

$$\frac{1}{2}\Big(2(\underbrace{\tan^2{x}+1}_{\s^2 x})\underbrace{(\tan^2{x})^{\frac{1}{2}}}_{|\tan x|}-\frac{4}{3}\underbrace{(\tan^2{x})^{3/2}}_{|\tan^3 x|}\Big) = \s^2 |\tan x| - \frac 23 |\bronceado^3 x| + C$$

Answer 2

Usted tiene que tener cuidado con la solución de las ecuaciones, la solución de la ecuación

$$ 1 + \tan^2 x = u $$

para $x$ en términos de $u$ realidad tiene muchas posibles valores: son los valores

$$ \pi n \pm \arctan \sqrt{u-1} $$

donde $n$ rangos de todos los números enteros.

En última instancia, podemos pasar por alto el $\pi n$ parte cuando la reescritura de la integral, debido a que $\tan(z + n \pi) = \tan(z)$$d(z + n \pi) = dz$, y estos son el único tipo de lugares $\pi n $ aparecen en la ecuación. Sin embargo, no debemos olvidar el signo.

En lugar de donig dos problemas por separado, es conveniente definir una nueva varaible $s$ $1$ o $-1$ según corresponda, y

$$ x = \pi n + s \arctan \sqrt{u-1} $$

y $s$ puede ser tratada como una constante (dependiendo de lo que usted se imagina, por los detalles bien $s$ realmente es una constante o $s$ es "localmente constante", pero de cualquier manera, $ds = 0$). En el final de simplificaciones, se observa que la

$$ \tan x = s \sqrt{u - 1} $$

que le permite convertir de nuevo en funciones trigonométricas, aunque manteniendo los signos de la derecha. En última instancia, todas las $s$'s va a cancelar (debido a que $s^2 = 1$), por lo que no tiene que preocuparse de que en la escritura de la respuesta final.

Por cierto, en mi opinión, es más fácil no para realmente resolver para $x$: podemos gestionar la sustitución sólo desde el conocimiento de que

$$ \tan x = s \sqrt{u-1} $$

a partir de la cual podemos derivar

$$ \sec^2 x \, dx = s \frac{1}{2} (u-1)^{-1/2} du $$

y, por supuesto, la ecuación original de configurar nos permite sustituto $\sec^2 x = u$.

Answer 3

Creo que su enfoque no es lo suficientemente directo.

$\sec^2x \,dx = d(tan x)$

$\int \sec^4 x \,dx$

$= \int sec^2x\sec^2x \,dx$

$= \int sec^2x \,d(tan x)$

$= \int (1 + tan^2x)\,d(tan x)$

$= \int d(tan x) + \int tan^2x \,d(tan x)$

$= ...$