¿Cuáles son los usos del determinante?

Question

He aprendido a calcular el determinante, pero ¿para qué sirve el determinante? Hasta ahora sólo sé que no hay inversa si el determinante es 0.

Answer 1

Los determinantes pueden utilizarse para ver si un sistema de $n$ ecuaciones lineales en $n$ tiene una solución única. Esto es útil para los problemas de tareas y similares, cuando los cálculos pertinentes pueden realizarse con exactitud.

Sin embargo, cuando se resuelven problemas numéricos reales, el determinante rara vez se utiliza, ya que es un indicador muy pobre de lo bien que se puede resolver un sistema de ecuaciones y, además, suele ser muy caro de calcular directamente. Otras cantidades (como los valores singulares) proporcionan mejores indicaciones de "solvencia", y otras técnicas (eliminación gaussiana, descomposiciones QR, etc.) son mejores para resolver sistemas de ecuaciones.

El determinante también da el volumen (con signo) del paralelepípedo cuyas aristas son las filas (o columnas) de una matriz. Esta interpretación me parece la más intuitiva, y muchos resultados estándar de los determinantes pueden entenderse desde este punto de vista. (Sin embargo, rara vez he tenido la necesidad práctica de calcular volúmenes utilizando determinantes). La interpretación del volumen suele ser útil cuando se calculan integrales multidimensionales ("cambio de variables"). También es útil para entender (o definir) el "producto cruzado" en física o mecánica.

El determinante es una herramienta teórica muy útil, cuyas aplicaciones van mucho más allá de las matrices de números reales o complejos. Sin embargo, esto puede no ser evidente a nivel de cálculo.

Answer 2

1. Le permite evaluar los productos cruzados y encontrar el ecuación general del plano si se da $3$ puntos. Por ejemplo: $A(1,1,0),\, B =(1,0,1),\,C=(0,1,2)$ $$B-A=(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1)$$ y $$C-A=(0,1,2)-(1,1,0)=(-1,0,2)$$ Ahora se utiliza el producto cruzado de $$(B-A)\times(C-A)=\begin{bmatrix}i & j & k \\0 & -1 & 1 \\-1 & 0 & 2 \end{bmatrix}=(-2,-1,-1)= \vec{n}$$ $i$ , $j$ y $k$ son vectores unitarios que se dirigen a lo largo del $x$ , $y$ y $z$ eje, respectivamente. $\vec{n}$ se conoce como el vector normal $\vec{n}$ y es perpendicular a la ecuación del plano.

   2. Para las matrices cuadradas, fórmulas como $$\det(AB) = \det (A) \det (B)$$ y $$\det (A^{-1}) = \frac 1 {\det (A)}$$ son aplicables

   3. Permite comprobar si la matriz tiene una inversa: $$\det=\begin{vmatrix}0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 5 & -3 \end{vmatrix}$$

$$=0\times\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3 \end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & -3 \end{vmatrix}+2\times\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}$$$$ =2 veces \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ $$ =2\año( 1\año) \begin{vmatrix}-1 & 0 \\ 1 & -3 \\ \end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix} 0 & 0 \ ~ 2 & -3 \ ~ - fin {vmatrix} + 1\ ~ veces \begin{vmatrix}0 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{vmatrix} \(derecha) $$$$=2\times \left(1\times(3-0)+1\times(0--2)\right)= 2(3+2)=10 \ne 0$$ Así que tu matriz es invertible (o tiene una inversa).

Answer 3

Como se ha señalado, puede tener varias aplicaciones. Daré una aplicación particular en teoría de la codificación específicamente en el diseño de códigos espacio-temporales que son códigos utilizados en los sistemas inalámbricos con múltiples antenas emisoras y receptoras.

Estos códigos espacio-temporales pueden verse como matrices $X$ donde una dimensión representa el espacio (es decir, el número de antenas diferentes) y la otra dimensión representa el tiempo (supongamos que ambas son iguales por ahora). Los elementos de la matriz se toman de un campo complejo $\mathbb{C}$ . Un libro de códigos $\mathcal{C}$ es una colección de tales matrices de código. Para estos códigos espacio-temporales, un criterio clave para diseñar un buen código es diseñar matrices que tengan un determinante mínimo grande de la diferencia de dos matrices de código cualesquiera en este libro de códigos, es decir, definir $\delta=\min_{X_1,X_2 \in \mathcal{C}} |\det(X_1-X_2)|$ . Cuanto mayor sea el valor de $\delta$ mejor y más eficiente es el código (eficiente en términos de utilización de energía y tasa de datos). Así que este es otro ámbito interesante en el que la determinación de la computación tiene una utilidad práctica.