Dado que el $x_n$ $y_n$ son secuencias de Cauchy en $\mathbb{R} $, demuestran que, a $x_n y_n$ es de Cauchy sin el uso del teorema de Cauchy que indica que Cauchy $\Rightarrow$ convergencia.
Intento: Sin esa condición no ha sido capaz de utilizar el teorema, la pregunta se vuelve trivial. Lugar:
Para todos los $\epsilon > 0$ existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que para $n,m \geq N, -\frac{\epsilon}{2} \leq x_n - x_m \leq \frac{\epsilon}{2}$ y similar declaración de $y_n$. Multiplicar la anterior por $y_n$ y la declaración equivalente por $y_n$$x_m$. A continuación, añadir estos juntos. El resultado es: $$|x_ny_n - x_my_m| < \frac{\epsilon}{2}(x_m + y_n)$$ I have proved in a previous question that $x_n + y_n$ is Cauchy so could I apply that here and say for $n,m \geq N$, $x_n + y_n$ is Cauchy and hence convergent so tends to a finite limit for $n,m \geq N$. This would mean my upper bound is a multiple of $\epsilon$ and since $\epsilon$ es arbritarily pequeño, por lo que es este límite superior. Por Lo Tanto Cauchy.
No creo que esto merecería una prueba plena en cualquier caso, ya que al multiplicar por $x_m$$y_n$, estoy asumiendo que son positivas a fin de no revertir la desigualdad de los signos. No obstante, agradecería alguna opinión sobre lo que he hecho.
Muchas gracias
