Sea G un grupo y deje$a\in G$. Defina$F_a:G\mapsto G$ a través de$F_a(x)=axa^{-1}$ para todos$a\in G$. Probar que$F_a$ es un isomorfismo de G en G

Question

Esto es lo que tengo para mi prueba:

$F_{a^{-1}}(F_{a}(x))=F_{a^{-1}}(axa^{-1})=a^{-1}axa^{-1}a=(a^{-1}a)x(a^{-1})(a)=1x1=x$

$F_{a}(F_{a^{-1}}(x))=F_{a}(a^{-1}xa)=aa^{-1}xaa^{-1}=(aa^{-1})x(aa^{-1})=1x1=x$

$\Rightarrow F_{a}$ tiene dos caras inversa

$\Rightarrow F_a$ es invertible

$\Rightarrow F_a$ es uno-a-uno y en G

Por eso es necesario establecer que el $F_a$ conserva ese grupo de operaciones para mostrar su un isomorfismo y desde $F_a$ es un mapa entre dos grupos que solo tenemos que mostrar que conserva ese grupo de productos

Deje $x,y\in G$

$F_a(xy)=axya^{-1}=ax1ya^{-1}=ax(a^{-1}a)ya^{-1}=(axa^{-1})(aya^{-1})=F_a(x)F_a(y)$

$\Rightarrow F_a$ preserva el producto del grupo de

$\therefore F_a$ es un isomorfismo de G en G

Necesito agregar algo más o que es exactamente lo que necesito?

Answer 1

O; deje$a\in G$ fixed y$x,y\in G$ sean elementos arbitrarios. Por lo tanto, $$x=y\Longleftrightarrow axa^{-1}=aya^{-1}$$ that means your map is well defined and it is one-one. Assume $g \ en G$ so with taking $x_0 = a ^ {- 1} ga$ we have $ F_a (x_0) = g% homomorfismo es exactamente como usted lo hizo.

Answer 2

Esta es una buena prueba. Tienes todo cubierto. ¡Nada más que decir! Todos los derechos reservados