¿Bajo qué condición sólo se cerrará cada subconjunto compacto de$X$ implica$X$ Hausdorff?

Question

Es trivial ver que:

Si$X$ es Hausdorff, entonces cada subconjunto compacto de$X$ se cierra.

Estoy preguntando en qué condición se mantiene el inverso, es decir, cuando no

Si se cierra cada subconjunto compacto de$X$, entonces$X$ es Hausdorff

sostener.

EDITAR:

Perdón por quien acaba de leer la pregunta, corregí el título y toda la pregunta. Debería quedar claro ahora.

Answer 1

Como para mí, esta pregunta suena antinatural, pero parece no ser tan trivial. Parece que el siguiente. Deje $X$ ser un espacio tal que cada subconjunto compacto de $X$ es cerrado. A continuación,$X$$T_1$, debido a que cada uno de los puntos subconjunto es compacto.

Proposición 1. Si $X^2$ es un secuencial de espacio, a continuación, $X$ es de Hausdorff.

Prueba. Supongamos lo contrario. Entonces la diagonal $\Delta=\{(x,x)\in X^2:x\in X\}$ no está cerrado en $X^2$. Desde $X^2$ es un secuencial de espacio entonces existe una secuencia $\{(x_n,x_n)\}$ de los puntos de $\Delta$, convergiendo hacia un punto de $(x,y)\in X^2\backslash\Delta$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $x_n\not=y$ por cada $n$. La secuencia de $\{x_n\}$ converge a $x$. Por lo tanto, un conjunto $X_0=\{x\}\cup\{x_n\}$ es compacto. Por lo tanto $X\backslash X_0$ es una vecindad de a $y$. Desde la secuencia de $\{x_n\}$ converge a $y$, existe un número $n$ tal que $x_n\in X\backslash X_0,$ una contradicción. $\square$

Ejemplo 1. Existe un no-espacio de Hausdorff $X$ de manera tal que cada subconjunto compacto de $X$ es cerrado.

Poner $X=\omega\cup\{\alpha\}\cup\{\alpha'\}$ donde$\alpha\not=\alpha'$$\{\alpha, \alpha'\}\cap\omega=\varnothing$. Deje $\mathcal F$ libre de ultrafilter en el set $\omega$. Definir una topología $\tau$ $X$ como sigue. Un subconjunto $U$ $X$ pertenece a $\tau$ fib $U\subset\omega$ o $U\cap\omega\in\mathcal F$. Desde $\mathcal F$ es un ultrafilter, podemos comprobar fácilmente que cada subconjunto compacto de $X$ es finito y, por lo tanto, cerrado en $T_1$espacio $X$.

Las siguientes preguntas están ya contestadas por Martin. Por el bien de los futuros avances en esta dirección, formulo las siguientes preguntas.

Existe un no-espacio de Hausdorff $X$ de manera tal que cada subconjunto compacto de $X$ está cerrado, siempre que:

1. $X$ es compacto?

2. $X$ es localmente compacto?

3. $X$ "$k$- espacio"?

4. $X$ "$k_\omega$- espacio"?

5. $X$ es un Fréchet-Urysohn espacio?

6. $X$ es un secuencial de espacio?