¿Existe una variedad irreducible lisa$X/\mathbb{C}$ tal que$\mathrm{Pic}(X)$ es finito y no es cero?
Respuesta
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Sí: tome $\mathbb{P}^2_\mathbb{C}-V(f)$, $f$ grado $d$. Entonces, esto es lisa y irreductible, y ha Picard grupo $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$.
Esto no es cierto si se requieren $X$ a un ser proyectivo, a continuación, $\mathrm{Pic}(X)$ contiene $\mathbb{Z}$ si es distinto de cero.
EDITAR(Explicar lo que sucede si $X$ es proyectiva): Supongamos que $X$ no es afín, y así no $\text{Spec}(\mathbb{C})$ (estoy asumiendo $X$ es integral, simplemente por conveniencia). Entonces, hay una muy amplia gama de paquete de $\mathcal{O}(1)\in\mathrm{Pic}(X)$. Pero, de cualquier poder de $\mathcal{O}(1)$ es todavía muy amplio, y desde $X$ no es $\text{Spec}(\mathbb{C})$, $\mathcal{O}_X$ no puede ser muy amplio. Por eso, $\mathcal{O}(1)$ no puede ser de torsión. Así, vemos que $\mathbb{Z}\subseteq\mathrm{Pic}(X)$.
De hecho, se puede decir más. Voy a restringir el caso de $X$ a (suave proyectiva integral) de la curva, exclusivamente para la conveniencia de nuevo. Entonces, sabemos que $\text{Pic}^0(X)$ $\mathbb{C}$- puntos de un abelian variedad (el Jacobiano) de dimensión $g=\text{genus}(X)$. Por lo tanto, si $X\ne\mathbb{P}^1$, $\mathrm{Pic}(X)$ es incontable.
