La suma de los$n$ enteros más grandes es mayor que la suma del$n+1$ restante.

Question

Sea$a_1\geq a_2\geq\ldots\geq a_{100n}$ enteros positivos de tal manera que si elegimos cualquier número$2n+1$ de ellos, la suma del$n$ mayor es estrictamente mayor que la suma del$n+1$ restante. Pruebalo

ps

Para el caso$$(n+1)(a_1+\ldots+a_n)>a_{n+1}+\ldots+a_{100n}.$, esto se convierte en$n=1$, y necesitamos probar$a_1\geq\ldots\geq a_{100}$. Tenemos$2a_1>a_2+\ldots+a_{100}$, y no está claro cómo sigue la deseada desigualdad.

Answer 1

$ 2a_1> 2a_2 2a_3> a_2 2a_3 a_3 a_4 = a_2 a_3 a_4 2a_3 $$ Similar para$a_3$ y obtendrás la desigualdad deseada. Entonces sólo use la inducción.