La belleza matemática de $e^{i\pi}+1=0$

Question

Sé que esta es una pregunta suave y basada en la opinión y me arriesgo a que esta pregunta sea cerrada/desvotada, pero aún así quería saber lo que otras personas, que están interesadas en las matemáticas, piensan sobre mi pregunta.

Siempre que se habla de la ecuación/identidad más bella se cita la identidad de Euler de esta manera:

$$e^{i\pi}+1=0.$$

Aunque estoy de acuerdo en que se trata de una bonita identidad (véase mi avatar), personalmente siempre me he preguntado por qué no

$$e^{2i\pi}-1 = 0$$

es la identidad más hermosa. Tiene $e$ , $i$ , $\pi$ , $0$ y el número $2$ en él. Lo prefiero porque el número $2$ es el primero y a la vez el único número primo par de impar. La inclusión de los números primos, que son en cierto modo los átomos de las matemáticas, hace que esta fórmula me resulte aún más agradable. El signo menos parece un poco "negativo", pero la parte buena es que está mostrando el principio de la inversión.

Así que mi pregunta es, ¿por qué no es esta la forma en la que más se se presenta?

Answer 1

La razón principal es simplemente que la versión estándar ofrece más información. Si sé $e^{i\pi}=-1$ entonces puedo deducir $e^{2i\pi}=1$ pero no al revés (sabiendo $e^{2i\pi}=1$ no me dice si $e^{i\pi}$ es $+1$ o $-1$ ).

Answer 2

Bien dicho por @copperhat: La belleza está en el ojo del que mira.

Me gusta la forma $e^{9i\pi}+1=0$ como $9$ es el primer número compuesto de impar. Las personas tienen gustos diferentes y no se puede obligar a alguien a que le gusten las manzanas si a ti te gustan.

Un problema que se me ocurre con $e^{2i\pi}-1 = 0$ es que puedes cuadrar ambos lados de su contraparte más elemental $e^{i\pi}=-1 $ y obtener el resultado.

Answer 3

Viendo las respuestas y los comentarios me siento obligado a ofrecer esto como un compromiso,

$\frac {e^{i \pi} + e^{-i \pi}}{2} = -1$

Answer 4

En mi opinión, definitivamente tienes autoridad para definir lo que es bello y lo que no lo es para ti. Y tu post me hizo pensar en una constante $\tau = 2\pi$ (ver https://tauday.com/ ), que algunos consideran más "bonito" y más "natural" que $\pi$ ya que hemos visto muchas fórmulas que incluyen $2\pi$ .

Personalmente, creo que debemos ser tolerantes con las diferentes percepciones de la belleza. Si crees que $$ e^{\pi i} + 1 = 0 $$ es el más grande, está bien. Para aquellas personas que consideran $$ e^{2 \pi i} - 1 = 0$$ como el más fascinante yo diría que está totalmente bien. Y en caso de que una persona insista en que $$ \sqrt{2} e^{\pi i/2} = 1+i $$ es el mejor (ya que puede implicar las dos ecuaciones anteriores) no lo refutaría porque es más bien una preferencia personal.