Selección de tres números de$0$ a$11$ con suma$12$

Question

Si $12$ entradas numeradas $0, 1, 2, \ldots 11$ se colocó en una bolsa, y tres son al azar, muestran que la probabilidad de que la suma de los números es igual a 12 $\frac{3n}{(6n-1)(6n-2)}=\frac{3}{55}$

Mi planteamiento:

Nos deja seleccionar el número tres de $12$: $\binom{12}{3}=220$

Yo ahora uso el concepto, estoy tomando $12$ inicialmente

$$ x_1+ x_2+ x_3=12$$

$x_1, x_2, x_3$ son no-negativos.

Número de Casos $\binom{12+3-1}{3-1}=\binom{14}{2}=91$

Retire los tres casos $(12,0,0),(0,12,0)$$(0,0,12)$, como he tomado $12$ que no es necesario. Número de Casos $91-3=88$

Mi respuesta es $$\frac{88}{220}=\frac{2}{5}$$ Por favor me ayude.

Answer 1

Ya ha contado que el número de sorteos con un total de 12, con la única condición es que todos los números son entre 0 y 12 inclusive, se $\binom{14}{2}$. Voy a seguir un poco más general, demostrando que para cualquier número que es múltiplo de 6. Así que en lugar de 12 os escribo $6n$, y en su caso $n=2$. En este caso más general, la fórmula se convierte en $$ \binom{6n+2}{2} = \frac{(6n+2)(6n+1)}{2} = (3n+1)(6n+1) $$

Ahora, retire primero los que implican repeticiones. De cuántas maneras existen para los dos primeros a ser el mismo? Este es un sorteo de $(i,i,6n-2i)$, por lo que sólo puede suceder si $0 \leq 6n-2i \leq 6n$ da $0 \leq i \leq 3n$. Esos son $3n+1$ sorteos. Por simetría, también hay $3n+1$ sorteos donde la segunda y la tercera, y el primer y tercer número de la misma, respectivamente. En total, se retire $3(3n+1)$ desde el conteo original, y que también se ocupa de los tres $0,0,6n$ (en cualquier orden) de los casos.

Pero, hemos eliminado a $(2n, 2n, 2n)$ tres veces (una vez en cada grupo de arriba), por lo que añadir de 2 a compensar. Ahora tenemos $$ (3n+1)(6n+1) - 3(3n+1) + 2 = 18n^2$$ formas de sacar tres números diferentes. Ya no nos importa el orden, aunque, nos han contado cada una de las únicas sorteo de 6 veces (3P3) se divide por 6 para obtener los $3n^2$.

Combine eso con el total (que ya tenía para el 12 de caso), y se obtiene la probabilidad $$ \frac{3n^2}{\binom{6n}{3}} = \frac{3n}{(6n-1)(6n-2)} $$